Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2010-2011 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Задача №1.  У гражданина Сидорова есть ровно столько денег, сколько нужно на покупку тонны кругликов и тонны шмугликов. Если он купит на $20 \%$ кругликов больше, то ему сделают 40-процентную скидку на шмуглики, и оставшихся денег на покупку тонны шмугликов ему хватит. А, если он купит на $40 \%$ шмугликов больше, то ему сделают 20-процентную скидку на круглики, и оставшихся денег на покупку тонны кругликов ему тоже хватит. Что дороже и во сколько раз: тонна кругликов или тонна шмугликов? (И в том, и другом случае не обязательно будут израсходованы все деньги)
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Разделите прямоугольный треугольник с углом $30^\circ$ на два меньших треугольника так, чтобы какая-то медиана одного из этих треугольников была параллельна одной из биссектрис второго треугольника.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Три натуральных числа $a$, $b$, $c$ подобраны так, что $\text{НОД}(ab, c) = \text{НОД}(a, bc)$. Докажите, что после сокращения дроби $a/c$ получится несократимая дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты с $b$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Дан пятиугольник $ABCDE$ такой, что $AB = BC = CD = DE$, $\angle B=96^\circ $ $\angle C= \angle D=108^\circ $. Найдите $\angle E$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Петя раскладывает карточки с числами $1, 2, \dots, 9$ в клетки таблицы $3 \times 3$. Затем он отворачивается, а Витя меняет местами какие-то две карточки из клеток с общей стороной, и переворачивает все карточки лицом вниз. После этого Петя один раз показывает на одну или несколько карточек, а Витя сообщает сумму чисел на них. Сможет ли Петя действовать так, чтобы в результате гарантированно узнать, где какая карточка?
комментарий/решение(1)

---