Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Разделите прямоугольный треугольник с углом $30^\circ$ на два меньших треугольника так, чтобы какая-то медиана одного из этих треугольников была параллельна одной из биссектрис второго треугольника.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Пусть в треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $30^\circ$, а угол $B$ — $60^\circ$. Опускаем высоту $CD$ из прямого угла на гипотенузу. Биссектриса угла $B$ параллельна медиане, проведенной из вершины $D$ к стороне $AC$.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Пусть в треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $30^\circ$, а угол $B$ — $60^\circ$. Проводим биссектрису $BE$. Тогда биссектриса (она же медиана и высота) из точки $E$ в треугольнике $EAB$ параллельна медиане из вершины $C$ в треугольнике $CBE$. Обоснование параллельности в обоих способах легко проводится подсчётом углов.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №3.     Решение 3. Пусть в треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $30^\circ$, а угол $B$ — $60^\circ$. Проведем биссектрису $BE$. Так как $\angle EBA = \angle A = 30^\circ$, то $EA = EB > EC$. Поэтому середина $AC$ точка $M$ лежит на $AE$, и проведенная через $M$ параллельно $BE$ прямая пересекает отрезок $AB$ в некоторой точке $D$. Разделим $ABC$ на треугольники $CBD$ и $CAD$. Тогда биссектриса угла $B$ в $CBD$ лежит на прямой $BL$ и поэтому параллельна медиане $DM$ треугольника $CAD$.