қазақша
русскийМатематикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры
Есеп №1. Екі бүтін оң санның әрқайсысы, олардың айырымына бөлінсе (қалдықсыз), ол екі санды өте жақын дейміз. Математика сабағында Воваға $2^{10}$ санымен өте жақын сандарды жазып шығуға тапсырма берді. Оған қанша сан жазу қажет?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $E$ және $F$ нүктелері — $ABCD$ тіктөртбұрышының сәйкесінше $BC$ және $CD$ қабырғаларының орталары. $AE < 2EF $ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $(a+b+c)^2=-(ab+ac+bc)$ орындалатындай және $a+b$, $b+c$, $a+c$ сандары 0 ге тең болмайтындай $a$, $b$, $c$ бүтін сандары болсын. $a+b$, $a+c$, $b+c$ сандары арасында кез-келген екеуінің көбейтіндісі үшіншісіне бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. 101 карта қатарынан тізіліп қойылсын. Әрбір жұп орында жатқан картаға «$ > $» не «$ < $» белгісі салынсын. Белгілердің кез-келген орналасуында, қалған карталарға, шыққан теңсіздік орындалатындай $1$, $2$, $\ldots$, $51$ (әрқайсысын бір рет қана) сандарын жазып шығуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Алина шахмат тақтасына ($8\times 8$ тақта) 22 әртүрлі (бірақ бір-бірімен қиылыса алатын) үш шаршы тіктөртбұрыш салып шықты, ал Полина — 22 өзара қиылыспайтын екі шаршы тіктөртбұрыштарды салып шықты (бірақ олар Алинаның салған тіктөртбұрыштарымен қиылысу мүмкін). Кем дегенда екі салынған фигураны толығымен қамтитын 5 шаршыдан тұратын крест-тәрізді фигураны әрдайым қоюға болатынын дәлелдеңіз. (Крест-тәрізді фигура тақта сыртына шыға алады.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)