Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Екі бүтін оң санның әрқайсысы, олардың айырымына бөлінсе (қалдықсыз), ол екі санды өте жақын дейміз. Математика сабағында Воваға

$2^{10}$ санымен өте жақын сандарды жазып шығуға тапсырма берді. Оған қанша сан жазу қажет?
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$E$ және

$F$ нүктелері —

$ABCD$ тіктөртбұрышының сәйкесінше

$BC$ және

$CD$ қабырғаларының орталары.

$AE < 2EF$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$(a+b+c)^2=-(ab+ac+bc)$ орындалатындай және

$a+b$ ,

$b+c$ ,

$a+c$ сандары 0 ге тең болмайтындай

$a$ ,

$b$ ,

$c$ бүтін сандары болсын.

$a+b$ ,

$a+c$ ,

$b+c$ сандары арасында кез-келген екеуінің көбейтіндісі үшіншісіне бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. 101 карта қатарынан тізіліп қойылсын. Әрбір жұп орында жатқан картаға «

$>$ » не «

$<$ » белгісі салынсын. Белгілердің кез-келген орналасуында, қалған карталарға, шыққан теңсіздік орындалатындай

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$51$ (әрқайсысын бір рет қана) сандарын жазып шығуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Алина шахмат тақтасына (

$8\times 8$ тақта) 22 әртүрлі (бірақ бір-бірімен қиылыса алатын) үш шаршы тіктөртбұрыш салып шықты, ал Полина — 22 өзара қиылыспайтын екі шаршы тіктөртбұрыштарды салып шықты (бірақ олар Алинаның салған тіктөртбұрыштарымен қиылысу мүмкін). Кем дегенда екі салынған фигураны толығымен қамтитын 5 шаршыдан тұратын крест-тәрізді фигураны әрдайым қоюға болатынын дәлелдеңіз. (Крест-тәрізді фигура тақта сыртына шыға алады.)
комментарий/решение(1)