Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, I тур дистанционного этапа

Назовём два положительных целых числа $\textit{почти соседними}$, если каждое из них делится (без остатка) на их разность. На уроке математики Вову попросили выписать в тетрадь все числа, почти соседние с $2^{10}$. Сколько чисел ему придётся выписать?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 21.
Решение. Число $2^{10}$ делится только на степени двойки: от $2^0$ до $2^{10}$. Поэтому почти соседними с ним могут быть только числа $2^{10}-2^9$, $2^{10}-2^8$, $\dots$, $2^{10}-2^0$, $2^{10}+2^0$, $\dots$, $2^{10}+2^{10}$ (число $0 = 2^{10}-2^{10}$ не подходит, так как не положительно). С другой стороны, легко видеть, что все эти числа действительно являются почти соседними с $2^{10}$.