Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2010-2011 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1.  Назовём два положительных целых числа $\textit{почти соседними}$, если каждое из них делится (без остатка) на их разность. На уроке математики Вову попросили выписать в тетрадь все числа, почти соседние с $2^{10}$. Сколько чисел ему придётся выписать?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно прямоугольника $ABCD$. Докажите, что $AE < 2EF$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $a$, $b$, $c$ — такие целые числа, что $(a+b+c)^2 = -(ab+ac+bc)$ и числа $a+b$, $b+c$, $a+c$ не равны 0. Докажите, что произведение любых двух из чисел $a+b$, $a+c$, $b+c$ делится на третье.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В ряд выложена 101 карточка. На каждой из 50 карточек, лежащих в этом ряду на чётных местах, нарисован значок «>» или «<». Докажите, что, как бы ни были нарисованы эти значки, можно заполнить остальные карточки числами 1, 2, $\dots$ 51 (использовав каждое по разу) так, чтобы все получившиеся неравенства оказались верными.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Алина обвела на шахматной доске $(8 \times 8)$ 22 различных (но, возможно, перекрывающихся) трёхклеточных прямоугольничка, а Полина — 22 неперекрывающихся двуклеточных прямоугольничка (но, возможно, перекрывающихся с прямоугольничками Алины). Докажите что на доску можно положить крестик из 5 клеток, полностью накрывающий хотя бы две обведённые фигурки. (Крестик может выходить за края доски.)
комментарий/решение(1)

---