Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2008-2009 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Бір көлде мөңке, шортан мен алабұға балықтары бар. Екі балықшы бірге 70 балық ұстап алды және де бірінші балықшының ауланған балығының 5/9 бөлігі мөңке, ал екінші балықшының ауланған балығының 7/17 бөлігі алабұға балығы. Егер екі балықшы да бірдей мөңке мен бірдей алабұға балығын ауласа, әрқайсысы қанша шортаннан аулаған?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Шеңбер бойына 22 адам орналасқан. Оның әрқайсысы әрқашан шындықты айтатын сері, немесе әрқашан өтірік айтатын өтірікші. Әр адам, «менен кейін сағат бойымен қатар кеткен 10 адам өтірікші» деген фраза айтты. Адамдар ішінде қанша адам өтірікші?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Теңбүйірлі

$ABC$

$(AC=BC)$ үшбұрышы берілген.

$BC$ ,

$AC$ және

$AB$ қабырғаларынан сәйкесінше

$A_1$ ,

$B_1$ және

$C_1$ нүктелері алынған.

$C_1B_1$

$AC$ -ға перпендикуляр,

$B_1A_1$

$BC$ -ға перпендикуляр және

$B_1A_1=B_1C_1$ екені белгілі.

$A_1C_1$

$AB$ -ға перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\ldots *\frac{{99}}{{100}}$ өрнегінде 98 жұлдызшаны өрнек мәні нөлге тең болатындай арифметикалық (

$-$ ,

$+$ ,

$\times$ ,

$:$ ) таңбаларына ауыстырыңдар.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. 1-ден 100-ге дейінгі сандарды бірінші топтардағы сандар қосындысы 102-ге, екінші топтардағы сандар қосындысы 103-ке, үшінші топтардағы сандар қосындысы 104-ке бөлінетіндей етіп үш топқа бөлуге бола ма?
комментарий/решение(1)