Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2008-2009 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1.  В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причём 5/9 улова первого рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго — окуни. Сколько щук поймал каждый из рыбаков, если оба поймали поровну карасей и окуней?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  По кругу стоят 22 человека, каждый из них — рыцарь (который всегда говорит только правду) или лжец (который всегда лжет). Каждый из них произнес фразу: «Следующие 10 человек по часовой стрелке после меня — лжецы». Сколько среди этих 22 людей лжецов?
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Дан равнобедренный треугольник $ABC$ $(AC = BC)$. На сторонах $BC$, $AC$, $AB$ отмечены точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Оказалось, что $C_1B_1$ перпендикулярно $AC$, $B_1A_1$ перпендикулярно $BC$ и $B_1A_1 = B_1C_1$. Докажите, что $A_1C_1$ перпендикулярно $AB$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В выражении $\frac{1}{2}*\frac{2}{3}* \dots *\frac{99}{100}$ замените все 98 звёздочек знаками арифметических действий $(-,~+,~\times,~:~)$ таким образом, чтобы значение полученного арифметического выражения равнялось нулю.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Можно ли разбить числа от 1 до 100 на три группы таким образом, чтобы в первой группе сумма чисел делилась на 102, во второй группе — на 203, а в третьей группе — на 304?
комментарий/решение(1)

---