Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Sn арқылы 1a1+1a2+…+1an=1 теңдігін қанағаттандыратын n натурал санның (a1,a2,…,an) реттелген қатарларының жалпы санын белгілейік. S10 санының жұптығын анықта.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. ABC үшбұрышында іштей сызылған шеңбер BC, CA және AB қабырғаларын сәйкесінше A1, B1 және C1 нүктелерінде жанап өтеді. A1C1B1 үшбұрышының ортоцентрін H1 деп белгілейік. ABC үшбұрышының іштей сызылған шеңбер центрін I, ал сырттай сызылған шеңбер центрін O деп белгілесек, онда I, O және H1 нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Шахмат турнирінде n адам ойнайды (мұндағы n>1 — натурал сан). Турнир барысында әрбір ойыншы басқа әрбір ойыншымен дәл бір партия ойнауы тиіс. Әрбір партия үшін ұтқан адамға 1 ұпай, тең ойнаған адамға 0,5 ұпай, ал ұтылған адамға 0 ұпай беріледі. Егер турнир аяқталған соң ойыншы максимал мүмкін ұпай санының 75%-нан кем емес ұпай санын жинаса, оған дәреже беріледі. Ең көп дегенде неше ойыншыға дәреже берілуі мүмкін?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез келген a, b, c және d оң нақты сандары үшін
a2+b2+c2ab+bc+cd+b2+c2+d2bc+cd+da+c2+d2+a2cd+da+ab+d2+a2+b2da+ab+bc≥4
теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №5. ABCD төртбұрышы центрі O болатын шеңберге іштей сызылған. AD және BC түзулері M нүктесінде, AB және CD түзулері N нүктесінде, AC және BD түзулері P нүктесінде, ал OP және MN түзулері K нүктесінде қиылыссын. Онда ∠AKP=∠PKC екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Коэффициенттері бүтін f(x) көпмүшелігі бір натурал k саны үшін f(f(…f(0)…))⏟k− рет=0. теңдігін қанағаттандыратын болса, f(0)=0 немесе f(f(0))=0 екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)