Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1.

${{S}_{n}}$ арқылы

$\dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\ldots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}}=1$ теңдігін қанағаттандыратын n натурал санның

$({{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\ldots ,\,{{a}_{n}})$ реттелген қатарларының жалпы санын белгілейік.

${{S}_{10}}$ санының жұптығын анықта.
комментарий/решение

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында іштей сызылған шеңбер

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ қабырғаларын сәйкесінше

$A_1$ ,

$B_1$ және

$C_1$ нүктелерінде жанап өтеді.

$A_1C_1B_1$ үшбұрышының ортоцентрін

$H_1$ деп белгілейік.

$ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңбер центрін

$I$ , ал сырттай сызылған шеңбер центрін

$O$ деп белгілесек, онда

$I$ ,

$O$ және

$H_1$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Шахмат турнирінде

$n$ адам ойнайды (мұндағы

$n > 1$ — натурал сан). Турнир барысында әрбір ойыншы басқа әрбір ойыншымен дәл бір партия ойнауы тиіс. Әрбір партия үшін ұтқан адамға 1 ұпай, тең ойнаған адамға

$0,\!5$ ұпай, ал ұтылған адамға 0 ұпай беріледі. Егер турнир аяқталған соң ойыншы максимал мүмкін ұпай санының

$75\%$ -нан кем емес ұпай санын жинаса, оған дәреже беріледі. Ең көп дегенде неше ойыншыға дәреже берілуі мүмкін?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез келген

$a$ ,

$b$ ,

$c$ және

$d$ оң нақты сандары үшін

$\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+bc+cd}+\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}{bc+cd+da}+\dfrac{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{a}^{2}}}{cd+da+ab}+\dfrac{{{d}^{2}}+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{da+ab+bc}\ge 4$ теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
комментарий/решение(5)

Есеп №5.

$ABCD$ төртбұрышы центрі

$O$ болатын шеңберге іштей сызылған.

$AD$ және

$BC$ түзулері

$M$ нүктесінде,

$AB$ және

$CD$ түзулері

$N$ нүктесінде,

$AC$ және

$BD$ түзулері

$P$ нүктесінде, ал

$OP$ және

$MN$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылыссын. Онда

$\angle AKP=\angle PKC$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Коэффициенттері бүтін

$f(x)$ көпмүшелігі бір натурал

$k$ саны үшін

$\underbrace{f(f(\dots f(0)\dots))}_{k-\text{ рет}}=0.$ теңдігін қанағаттандыратын болса,

$f(0)=0$ немесе

$f(f(0))=0$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)