Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Пусть A1T, B1D, C1E - высоты треугольника A1C1B1, точки D,T,E лежат на одной окружности в силу окружности девяти точек, пусть O1 центр этой окружности, по известному утверждению O1 лежит в середине отрезка H1I (прямая Эйлера).
1)∠H1DT=∠H1CT=90−∠C1B1A1=90−180−∠ABC2=∠ABC2 и
∠H1DE=∠H1A1E=90−∠C1B1A1=∠ABC2.
Откуда ∠TDE=∠ABC аналогично и с остальными углами треугольника TDE, получаем что TD||AB, TE||AC, DE||BC.
Пусть R,r - радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
2)Докажем что IO1IO=rR(1) используя то что IO=√R2−2Rr (теорема Эйлера) или через H1I=2IO1 получим H1I=r√1−2rR=r√2cos(A+B)−2cosA−2cosB+3(2).
Если G середина B1C1 тогда A1H1=2IG=2r⋅sin(A2) и ∠H1A1I=A+2B−π2 тогда из треугольника H1A1I по теореме косинусов получим (2) значит верно и (1).
3) Если A′,B′,C′ симметричные точки относительно O, то при гомотетии с центром (I,−RRTDE) окружность описанная около треугольника TDE перейдет в описанную окружность ABC, а сам треугольник TDE в A′B′C′ и O1 в O значит O,I,O1,H лежат на одной прямой.
D,E,F - основания высот треугольника A1B1C1 из A1,B1,C1 соответственно. Тогда:
A) H1 - инцентр DEF.
B) окружность (DEF) - окружность девяти точек A1B1C1 с центром O9, который лежит на прямой Эйлера A1B1C1, то есть прямой IH1.
C) DEF и ABC гомотетичны относительно L - точки пересечения AD,BE,CF (известное свойство). Иначе говоря L∈IH1.
Из этого всего следует, что при гомотетии с центром L и коэффициентом LALD: H1→I,O9→O. То есть O,I,O9,H1,L - лежат на одной прямой.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.