Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс


В треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Обозначим ортоцентр треугольника A1C1B1 через H1. Пусть I — центр вписанной, а O — центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки I, O и H1 лежат на одной прямой.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
7 года 2 месяца назад #

Пусть A1T, B1D, C1E - высоты треугольника A1C1B1, точки D,T,E лежат на одной окружности в силу окружности девяти точек, пусть O1 центр этой окружности, по известному утверждению O1 лежит в середине отрезка H1I (прямая Эйлера).

1)H1DT=H1CT=90C1B1A1=90180ABC2=ABC2 и

H1DE=H1A1E=90C1B1A1=ABC2.

Откуда TDE=ABC аналогично и с остальными углами треугольника TDE, получаем что TD||AB, TE||AC, DE||BC.

Пусть R,r - радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

2)Докажем что IO1IO=rR(1) используя то что IO=R22Rr (теорема Эйлера) или через H1I=2IO1 получим H1I=r12rR=r2cos(A+B)2cosA2cosB+3(2).

Если G середина B1C1 тогда A1H1=2IG=2rsin(A2) и H1A1I=A+2Bπ2 тогда из треугольника H1A1I по теореме косинусов получим (2) значит верно и (1).

3) Если A,B,C симметричные точки относительно O, то при гомотетии с центром (I,RRTDE) окружность описанная около треугольника TDE перейдет в описанную окружность ABC, а сам треугольник TDE в ABC и O1 в O значит O,I,O1,H лежат на одной прямой.

  1
1 года 11 месяца назад #

D,E,F - основания высот треугольника A1B1C1 из A1,B1,C1 соответственно. Тогда:

A) H1 - инцентр DEF.

B) окружность (DEF) - окружность девяти точек A1B1C1 с центром O9, который лежит на прямой Эйлера A1B1C1, то есть прямой IH1.

C) DEF и ABC гомотетичны относительно L - точки пересечения AD,BE,CF (известное свойство). Иначе говоря LIH1.

Из этого всего следует, что при гомотетии с центром L и коэффициентом LALD: H1I,O9O. То есть O,I,O9,H1,L - лежат на одной прямой.