Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

Задача №1. Обозначим через

$S_n$ — количество упорядоченных наборов из

$n$ натуральных чисел

$(a_1, a_2, . . . , a_n)$ для которых

$\displaylines{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+. . . +\frac{1}{a_n}=1.}$ Определите четность числа

$S_{10}$ .
комментарий/решение

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ вписанная окружность касается сторон

$BC$ ,

$CA$ и

$AB$ в точках

$A_1$ ,

$B_1$ и

$C_1$ соответственно. Обозначим ортоцентр треугольника

$A_1C_1B_1$ через

$H_1$ . Пусть

$I$ — центр вписанной, а

$O$ — центр описанной окружности треугольника

$ABC$ . Докажите, что точки

$I$ ,

$O$ и

$H_1$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(2)

Задача №3. В шахматном турнире участвуют

$n$ человек (

$n > 1$ — натуральное число). За весь турнир каждый игрок играет с каждым другим ровно одну партию. В каждой партии игроку за выигрыш начисляется 1 очко, за ничью —

$0,\!5$ очков, а за проигрыш — 0 очков. Если по окончании турнира игрок набирает не менее

$75\%$ от максимального возможного количества очков, которые он может набрать, то ему присваивается разряд. Какое наибольшее количество участников турнира могут получить разряд?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что для любых положительных чисел

$a, b, c$ и

$d$ выполнено неравенство

$\displaylines{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+cd}+\frac{b^2+c^2+d^2}{bc+cd+da}+\frac{c^2+d^2+a^2}{cd+da+ab}+\frac{d^2+a^2+b^2}{ad+ab+bc} \geq 4.}$
комментарий/решение(5)

Задача №5. Четырехугольник

$ABCD$ вписан в окружность с центром

$O$ . Пусть прямые

$AD$ и

$BC$ пересекаются в точке

$M$ , прямые

$AB$ и

$CD$ — в точке

$N$ , прямые

$AC$ и

$BD$ — в точке

$P$ , а прямые

$OP$ и

$MN$ — в точке

$K$ . Докажите, что

$\angle PKC=\angle AKP$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Пусть

$f(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторого натурального числа

$k$ выполнено равенство

$\underbrace{f(f(\dots f(0)\dots))}_{k-\text{раз}}=0.$ Докажите, что

$f(0)=0$ или

$f(f(0))=0$ .
комментарий/решение(1)