Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

Задача №1. Обозначим через $S_n$ — количество упорядоченных наборов из $n$ натуральных чисел $(a_1, a_2, . . . , a_n)$ для которых $$ \displaylines{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+. . . +\frac{1}{a_n}=1.}$$ Определите четность числа $S_{10}$.
комментарий/решение

---

Задача №2.  В треугольнике $ABC$ вписанная окружность касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Обозначим ортоцентр треугольника $A_1C_1B_1$ через $H_1$. Пусть $I$ — центр вписанной, а $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что точки $I$, $O$ и $H_1$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3. В шахматном турнире участвуют $n$ человек ($n > 1$ — натуральное число). За весь турнир каждый игрок играет с каждым другим ровно одну партию. В каждой партии игроку за выигрыш начисляется 1 очко, за ничью — $0,\!5$ очков, а за проигрыш — 0 очков. Если по окончании турнира игрок набирает не менее $75\%$ от максимального возможного количества очков, которые он может набрать, то ему присваивается разряд. Какое наибольшее количество участников турнира могут получить разряд?
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Докажите, что для любых положительных чисел $a, b, c$ и $d$ выполнено неравенство $$\displaylines{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+cd}+\frac{b^2+c^2+d^2}{bc+cd+da}+\frac{c^2+d^2+a^2}{cd+da+ab}+\frac{d^2+a^2+b^2}{ad+ab+bc} \geq 4.}$$
комментарий/решение(4)

---

Задача №5. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Пусть прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$, прямые $AB$ и $CD$ — в точке $N$, прямые $AC$ и $BD$ — в точке $P$, а прямые $OP$ и $MN$ — в точке $K$. Докажите, что $\angle PKC=\angle AKP$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Пусть $f(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторого натурального числа $k$ выполнено равенство $\underbrace{f(f(\dots f(0)\dots))}_{k-\text{раз}}=0.$ Докажите, что $f(0)=0$ или $f(f(0))=0$.
комментарий/решение(1)

---