Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

Докажите, что для любых положительных чисел $a, b, c$ и $d$ выполнено неравенство $$\displaylines{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+cd}+\frac{b^2+c^2+d^2}{bc+cd+da}+\frac{c^2+d^2+a^2}{cd+da+ab}+\frac{d^2+a^2+b^2}{ad+ab+bc} \geq 4.}$$

Комментарий/решение

По неравенству Коши-Буняковского верно следующее:

$$(1+1+1)(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2 \quad \Leftrightarrow \quad a^2+b^2+c^2 \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}.$$

Тогда, используя аналогичные неравенства, и еще раз применив неравенство Коши-Буняковского, получим:

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+cd}+\frac{b^2+c^2+d^2}{bc+cd+da}+\frac{c^2+d^2+a^2}{cd+da+ab}+\frac{d^2+a^2+b^2}{ad+ab+bc} \geq $$

$$ \geq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+cd)}+\frac{(b+c+d)^2}{3(bc+cd+da)}+\frac{(c+d+a)^2}{3(cd+da+ab)}+\frac{(d+a+b)^2}{3(ad+ab+bc)} \geq $$

$$ \geq \frac{((a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b))^2}{3(ab+bc+cd)+3(bc+cd+da)+3(cd+da+ab)+3(ad+ab+bc)}=$$

$$= \frac{((3(a+b+c+d))^2}{9(ab+bc+cd+ad)}=$$

$$= \frac{((a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+ad}.$$

Теперь, остается доказать $\dfrac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+ad} \geq 4.$

Преобразовав скобки и перенеся знаменатель на правую часть получаем:

$$ a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd \geq 2(ab+bc+cd+da).$$

Откуда можно получить элементарное неравенство:

$$ (a+c)^2+(b+d)^2 \geq 2(a+c)(b+d).$$

Любимый $AM \geq GM$ и Коши для первого и второго, для второго и третьего, третьего и четвёртого и первого и четвёртого верха дробей.

Не могли бы вы описывать свои решения поподробнее? Некоторые пользователи могут не понять ваше решение

хорошо бро, ради тебя распишу:

Используем $AM \geq GM$ для 4 скобок. И попробуем доказать что дробь полученная по $AM \geq GM$ меньшая или равная изначальному уравнению будет больше или равно 4:

$$\sum \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+cd} \geq 4\sqrt[4]{\frac{\prod(a^2+b^2+c^2)}{\prod(ab+bc+cd)}} \Rightarrow$$

$$(!) 4\sqrt[4]{\frac{\prod(a^2+b^2+c^2)}{\prod(ab+bc+cd)}}\geq4 \Rightarrow$$

$$(!) \frac{\prod(a^2+b^2+c^2)}{\prod(ab+bc+cd)} \geq 1.$$

Заметим от уравнения Коши-Буняковского что:

$$\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)}\geq(ab+bc+cd),$$

$$\sqrt{(b^2+c^2+d^2)(c^2+d^2+a^2)} \geq (bc+cd+da),$$

$$\sqrt{(c^2+d^2+a^2)(d^2+a^2+b^2)}\geq(cd+da+ab),$$

$$\sqrt{(d^2+a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)} \geq (ad+ab+bc).$$

Используем все вместе и получим требуемое.