Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып


Кез келген a, b, c және d оң нақты сандары үшін a2+b2+c2ab+bc+cd+b2+c2+d2bc+cd+da+c2+d2+a2cd+da+ab+d2+a2+b2da+ab+bc4 теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   7 | Модератормен тексерілді
7 года 9 месяца назад #

По неравенству Коши-Буняковского верно следующее:

(1+1+1)(a2+b2+c2)(a+b+c)2a2+b2+c2(a+b+c)23.

Тогда, используя аналогичные неравенства, и еще раз применив неравенство Коши-Буняковского, получим:

a2+b2+c2ab+bc+cd+b2+c2+d2bc+cd+da+c2+d2+a2cd+da+ab+d2+a2+b2ad+ab+bc

(a+b+c)23(ab+bc+cd)+(b+c+d)23(bc+cd+da)+(c+d+a)23(cd+da+ab)+(d+a+b)23(ad+ab+bc)

((a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b))23(ab+bc+cd)+3(bc+cd+da)+3(cd+da+ab)+3(ad+ab+bc)=

=((3(a+b+c+d))29(ab+bc+cd+ad)=

=((a+b+c+d)2ab+bc+cd+ad.

Теперь, остается доказать (a+b+c+d)2ab+bc+cd+ad4.

Преобразовав скобки и перенеся знаменатель на правую часть получаем:

a2+b2+c2+d2+2ac+2bd2(ab+bc+cd+da).

Откуда можно получить элементарное неравенство:

(a+c)2+(b+d)22(a+c)(b+d).

  1
23 дней 7 часов назад #

Или можно так a2ab+bc+cd+b2bc+cd+ad+c2ab+ad+cd+d2ab+ad+bc(a+b+c+d)23(ab+bc+cd+da), аналогично для других и выйдет тоже самое

  1
3 года 1 месяца назад #

Любимый AMGM и Коши для первого и второго, для второго и третьего, третьего и четвёртого и первого и четвёртого верха дробей.

  0
3 года 1 месяца назад #

Не могли бы вы описывать свои решения поподробнее? Некоторые пользователи могут не понять ваше решение

  3
3 года 1 месяца назад #

хорошо бро, ради тебя распишу:

Используем AMGM для 4 скобок. И попробуем доказать что дробь полученная по AMGM меньшая или равная изначальному уравнению будет больше или равно 4:

a2+b2+c2ab+bc+cd44(a2+b2+c2)(ab+bc+cd)

(!)44(a2+b2+c2)(ab+bc+cd)4

(!)(a2+b2+c2)(ab+bc+cd)1.

Заметим от уравнения Коши-Буняковского что:

(a2+b2+c2)(b2+c2+d2)(ab+bc+cd),

(b2+c2+d2)(c2+d2+a2)(bc+cd+da),

(c2+d2+a2)(d2+a2+b2)(cd+da+ab),

(d2+a2+b2)(a2+b2+c2)(ad+ab+bc).

Используем все вместе и получим требуемое.