Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
По неравенству Коши-Буняковского верно следующее:
(1+1+1)(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2⇔a2+b2+c2≥(a+b+c)23.
Тогда, используя аналогичные неравенства, и еще раз применив неравенство Коши-Буняковского, получим:
a2+b2+c2ab+bc+cd+b2+c2+d2bc+cd+da+c2+d2+a2cd+da+ab+d2+a2+b2ad+ab+bc≥
≥(a+b+c)23(ab+bc+cd)+(b+c+d)23(bc+cd+da)+(c+d+a)23(cd+da+ab)+(d+a+b)23(ad+ab+bc)≥
≥((a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b))23(ab+bc+cd)+3(bc+cd+da)+3(cd+da+ab)+3(ad+ab+bc)=
=((3(a+b+c+d))29(ab+bc+cd+ad)=
=((a+b+c+d)2ab+bc+cd+ad.
Теперь, остается доказать (a+b+c+d)2ab+bc+cd+ad≥4.
Преобразовав скобки и перенеся знаменатель на правую часть получаем:
a2+b2+c2+d2+2ac+2bd≥2(ab+bc+cd+da).
Откуда можно получить элементарное неравенство:
(a+c)2+(b+d)2≥2(a+c)(b+d).
Или можно так a2ab+bc+cd+b2bc+cd+ad+c2ab+ad+cd+d2ab+ad+bc≥(a+b+c+d)23(ab+bc+cd+da), аналогично для других и выйдет тоже самое
хорошо бро, ради тебя распишу:
Используем AM≥GM для 4 скобок. И попробуем доказать что дробь полученная по AM≥GM меньшая или равная изначальному уравнению будет больше или равно 4:
∑a2+b2+c2ab+bc+cd≥44√∏(a2+b2+c2)∏(ab+bc+cd)⇒
(!)44√∏(a2+b2+c2)∏(ab+bc+cd)≥4⇒
(!)∏(a2+b2+c2)∏(ab+bc+cd)≥1.
Заметим от уравнения Коши-Буняковского что:
√(a2+b2+c2)(b2+c2+d2)≥(ab+bc+cd),
√(b2+c2+d2)(c2+d2+a2)≥(bc+cd+da),
√(c2+d2+a2)(d2+a2+b2)≥(cd+da+ab),
√(d2+a2+b2)(a2+b2+c2)≥(ad+ab+bc).
Используем все вместе и получим требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.