9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур

Задача №1. Если длину прямоугольника увеличить на 1, а ширину уменьшить на 1, то его площадь увеличится на 1. Как и насколько изменится площадь прямоугольника, если длину увеличить на 2, а ширину уменьшить на 2?
комментарий/решение

Задача №2. Сколькими способами можно выбрать тройку цифр $(a,b,c)$ (не обязательно различных) так, чтобы для суммы трёх трёхзначных чисел выполнялись неравенства $$400 < \overline{a23}+\overline{1b3}+\overline{12c} < 900 \, ?$$
комментарий/решение

Задача №3. Имеется чашечные весы и 120 внешне одинаковых монет, из которых 2 фальшивые — они легче, чем остальные, и весят одинаково. Как с помощью весов за два взвешивания выделить 60 настоящих монет?
комментарий/решение

Задача №4. Назовём натуральное число $n$ хорошим, если у каждого числа $$n, \ n+1, \ n+2, \ n+3, \ n+4$$ можно выбрать по одному делителю (отличный от 1 и самого числа) так, чтобы они в каком-то порядке образовывали 5 последовательных натуральных чисел.
а) Найдите наименьшее хорошее число $n$.
б) Конечно или бесконечно хороших чисел?
комментарий/решение

Задача №5. Два игрока $A$ и $B$ играют в следующую игру. Они ходят по очереди, начинает $A$. Каждый своим ходом записывает одно число: $A$ — только положительные числа, $B$ — только отрицательные. Игра продолжается до тех пор, пока каждый не напишет ровно по 10 чисел (всего будет записано 20 чисел). После этого рассматриваются все возможные 190 пар чисел из полученного набора, и для каждой пары вычисляется сумма чисел в этих парах. Какое наибольшее количество отрицательных сумм может гарантировать себе игрок $B$, независимо от действий $A$?
комментарий/решение