9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур

Есеп №1. Егер тіктөртбұрыштың ұзындығын $1$-ге арттырып, ал енін $1$-ге кемітсе, оның ауданы $1$-ге артады. Егер оның ұзындығын $2$-ге арттырып, ал енін $2$-ге кемітсе, тіктөртбұрыштың ауданы қалай және қаншаға өзгереді?
комментарий/решение

Есеп №2. Үш таңбалы үш санның қосындысы үшін $$400 < \overline{a23}+\overline{1b3}+\overline{12c} < 900$$ теңсіздіктері орындалатындай етіп, $(a,b,c)$ цифрлар үштігін неше тәсілмен таңдауға болады? (Таңдалған цифрлар әртүрлі болуы міндетті емес.)
комментарий/решение

Есеп №3. Екі табақты таразы мен сырты бірдей $120$ тиын бар. Олардың екеуі жалған тиын (жалған екі тиын салмақтары тең, бірақ шынайы тиыннан кем). Таразымен екі рет өлшеу арқылы $60$ шынайы тиынды қалай бөліп алуға болады?
комментарий/решение

Есеп №4. Бес $n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4$ натурал сандары берілген. Егер осы әр санның бір бөлгішін, жазылған бес бөлгіш қандай да бір ретте қатар келген бес натурал болатындай етіп, жазып шыға алсақ, онда $n$ санын жақсы сан деп атаймыз. (Бұл жерде әр сан үшін оның жазылған бөлгіші 1-ден үлкен және және санның өзінен кіші болуы керек.)
а) Ең кіші жақсы $n$ санын табыңыз.
б) Жақсы сандардың саны шекті ме, әлде шексіз бе?
комментарий/решение

Есеп №5. Тақтада $A$ және $B$ ойыншылары келесі ойын ойнауда. Олар кезекпен жүреді, ойынды бірінші болып $A$ бастайды. Әр ойыншы өз жүрісінде бір сан жазады: $A$ тек оң сандарды, ал $B$ тек теріс сандарды жаза алады. Әрқайсысы дәл $10$ саннан жазғанғаннан кейін ойын тоқтатылады (бұл кезде барлығы $20$ сан жазылады). Осыдан кейін алынған жиындағы сандардан құралатын барлық $190$ жұп қарастырылып, кейін әр жұп үшін сол жұптағы сандардың қосындысы есептеледі. $A$ ойыншысының әрекеттеріне қарамастан, $B$ ойыншысы өзіне кепілді түрде ең көп дегенде неше теріс қосындыны қамтамасыз ете алады?
комментарий/решение