қазақша
русский43-я Балканская математическая олимпиада. Греция, Салоники, 2026 год
Есеп №1. $S$ жиыны (оң нақты сандардан тұратын) аристотельдік деп аталады, егер кез келген $x, y, z \in S$ үшін ($x < y < z$) $ \frac{z-x}{y} \in S$ шарт орындалса. Дәл $n$ элементі бар аристотельдік жиын табылатындай барлық $n \geq 4$ бүтін сандарды табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $n$ — оң бүтін сан болсын. Өлшемі $2n \times 2n$ тақта $2 \times 1$ және $1 \times 2$ домино тастарымен жабылған. Доминоны бұру дегеніміз — оның екі бірлік шаршысының біреуін таңдап, бүкіл доминоны сол шаршының центрі айналасында $90^\circ$ сағат тілі бағытымен, $90^\circ$ сағат тіліне қарсы немесе $180^\circ$-қа бұру. Әрбір доминоны бір уақытта бұрып, бұрулардан кейін де доминолар тақтаны толық жабатындай ету әрқашан мүмкін екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $ABCD$ — параллелограмм, мұнда $\angle DAB < 90^\circ$ және $AB < AD$. $H$ — $BCD$ үшбұрышының ортоцентрі, ал $H'$ — $H$ нүктесінің $BD$ түзуіне қатысты симметриялы нүктесі. $AH$ түзуі $BD$, $CD$ және $BC$ түзулерін сәйкесінше $E$, $F$ және $G$ нүктелерінде қиып өтеді. $HEH'$ және $CFG$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері бір-біріне жанасатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $n \geq 2$ — бүтін сан болсын. Бастапқыда тақтаға $n$ рет 1 саны жазылған. Операция деп тақтадағы екі санды $a$ және $b$ (екеуі бірдей нөл емес) таңдап, оларды келесі сандармен алмастыруды айтамыз: $$ \frac{(a-b)^2}{a+b} \text{ және } \frac{4ab}{a+b}. $$ Қандай $n$ бүтін сандары үшін шекті саны операциялардан кейін тақтада $n$ саны пайда болуы мүмкін екенін анықтаңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение