43-я Балканская математическая олимпиада. Греция, Салоники, 2026 год

Пусть $n$ - положительное целое число. Доска размером $2 n \times 2 n$ покрыта доминошками размером $2 \times 1$ и $1 \times 2$. Повернуть доминошку означает выбрать один из двух её единичных квадратов и повернуть всю доминошку либо на $90^{\circ}$ по часовой стрелке, либо на $90^{\circ}$ против часовой стрелки, либо на $180^{\circ}$ вокруг центра выбранного квадрата. Докажите, что всегда можно одновременно повернуть каждую доминошку так, чтобы после выполнения всех поворотов доминошки по-прежнему образовывали покрытие доски.

Комментарий/решение

Поделим доску на квадратики $2\times 2$ и покрасим клетки шахматной раскраской. Очевидно каждая доминошка имеет одну черную и одну белую клетку. Зафиксируем все черные клетки, и будем менять белые клетки каждой доминошки(поворачивать). Рассмотрим доминошки из черных клеток каждого квадратика $2\times 2$. Если обе эти доминошки внутри квадрата то просто меняем их белые клетки, если обе доминошки снаружи то поворачиваем внутрь произвольным образом. И если один снаружи, и один внутри, меняем белую клетку доминошки снаружи на белую клетку того что внутри, и его белую клетку поворачиваем в другую белую клетку в этом квадратике. Можем убедиться что это покрытие подходит.

хорош