43-я Балканская математическая олимпиада. Греция, Салоники, 2026 год

Задача №1. Множество $S$, состоящее из действительных положительных чисел, называется аристотелевским если для любых $x, y, z \in S$, удовлетворяющих условию $x < y < z$, выполняется условие $$ \frac{z-x}{y} \in S . $$ Найдите все целые числа $n \geq 4$, для которых существует аристотелевское множество, содержащее ровно $n$ элементов.
комментарий/решение

---

Задача №2. Пусть $n$ - положительное целое число. Доска размером $2 n \times 2 n$ покрыта доминошками размером $2 \times 1$ и $1 \times 2$. Повернуть доминошку означает выбрать один из двух её единичных квадратов и повернуть всю доминошку либо на $90^{\circ}$ по часовой стрелке, либо на $90^{\circ}$ против часовой стрелки, либо на $180^{\circ}$ вокруг центра выбранного квадрата. Докажите, что всегда можно одновременно повернуть каждую доминошку так, чтобы после выполнения всех поворотов доминошки по-прежнему образовывали покрытие доски.
комментарий/решение

---

Задача №3. Пусть $A B C D$ — параллелограмм, в котором $\angle D A B < 90^{\circ}$ и $A B < A D$. Пусть $H$ - ортоцентр треугольника $B C D$, а $H'$ — точка, симметричная $H$ относительно прямой $B D$. Прямая $A H$ пересекает прямые $B D, C D$ и $B C$ в точках $E, F$ и $G$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $H E H'$ и $C F G$ касаются друг друга.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4. Пусть $n \geq 2$ — целое число. Изначально на доске $n$ раз написано число 1. Операцией назовем выбор двух чисел $a$ и $b$, находящихся на доске (не оба равные нулю), и замену их числами $$ \frac{(a-b)^2}{a+b} \text { и } \frac{4 a b}{a+b} . $$ Определите все целые числа $n$, для которых после конечного числа операций на доске может появиться число $n$.
комментарий/решение

---