43-я Балканская математическая олимпиада. Греция, Салоники, 2026 год

Множество $S$, состоящее из действительных положительных чисел, называется аристотелевским если для любых $x, y, z \in S$, удовлетворяющих условию $x < y < z$, выполняется условие $$ \frac{z-x}{y} \in S . $$ Найдите все целые числа $n \geq 4$, для которых существует аристотелевское множество, содержащее ровно $n$ элементов.

Комментарий/решение

Уважаемые, подскажите когда выйдут задания МОШП и АТМО

Пусть наше множество это $S=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$. Где $x_i$ стоят в порядке возрастания. Допустим для $n\ge 6$ такое множество существует. Тогда $$\frac{x_n-x_1}{x_2} > \frac{x_n-x_1}{x_3}> \dots > \frac{x_n-x_1}{x_{n-1}} > \frac{x_n-x_2}{x_{n-1}} > \dots >\frac{x_n-x_4}{x_{n-1}}$$

Что невозможно. Для $n=5$ значит если убрать последнее число то каждое соответствует какому-то $x_i$ (Первое число равно $x_n$, второе $x_{n-1}$ и так далее). Дальше нетрудным счетом из этих равенств можно убедиться что $n=5$ не подходит. И для $n=4$ пример $S=\{\frac{5}{9}, \frac{2}{3}, 1, \frac{11}{9}\}$.