43-я Балканская математическая олимпиада. Греция, Салоники, 2026 год

$S$ жиыны (оң нақты сандардан тұратын) аристотельдік деп аталады, егер кез келген $x, y, z \in S$ үшін ($x < y < z$) $ \frac{z-x}{y} \in S$ шарт орындалса. Дәл $n$ элементі бар аристотельдік жиын табылатындай барлық $n \geq 4$ бүтін сандарды табыңыз.

Комментарий/решение

Уважаемые, подскажите когда выйдут задания МОШП и АТМО

Пусть наше множество это $S=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$. Где $x_i$ стоят в порядке возрастания. Допустим для $n\ge 6$ такое множество существует. Тогда $$\frac{x_n-x_1}{x_2} > \frac{x_n-x_1}{x_3}> \dots > \frac{x_n-x_1}{x_{n-1}} > \frac{x_n-x_2}{x_{n-1}} > \dots >\frac{x_n-x_4}{x_{n-1}}$$

Что невозможно. Для $n=5$ значит если убрать последнее число то каждое соответствует какому-то $x_i$ (Первое число равно $x_n$, второе $x_{n-1}$ и так далее). Дальше нетрудным счетом из этих равенств можно убедиться что $n=5$ не подходит. И для $n=4$ пример $S=\{\frac{5}{9}, \frac{2}{3}, 1, \frac{11}{9}\}$.