43-я Балканская математическая олимпиада. Греция, Салоники, 2026 год

$n$ — оң бүтін сан болсын. Өлшемі $2n \times 2n$ тақта $2 \times 1$ және $1 \times 2$ домино тастарымен жабылған. Доминоны бұру дегеніміз — оның екі бірлік шаршысының біреуін таңдап, бүкіл доминоны сол шаршының центрі айналасында $90^\circ$ сағат тілі бағытымен, $90^\circ$ сағат тіліне қарсы немесе $180^\circ$-қа бұру. Әрбір доминоны бір уақытта бұрып, бұрулардан кейін де доминолар тақтаны толық жабатындай ету әрқашан мүмкін екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Поделим доску на квадратики $2\times 2$ и покрасим клетки шахматной раскраской. Очевидно каждая доминошка имеет одну черную и одну белую клетку. Зафиксируем все черные клетки, и будем менять белые клетки каждой доминошки(поворачивать). Рассмотрим доминошки из черных клеток каждого квадратика $2\times 2$. Если обе эти доминошки внутри квадрата то просто меняем их белые клетки, если обе доминошки снаружи то поворачиваем внутрь произвольным образом. И если один снаружи, и один внутри, меняем белую клетку доминошки снаружи на белую клетку того что внутри, и его белую клетку поворачиваем в другую белую клетку в этом квадратике. Можем убедиться что это покрытие подходит.

хорош