қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 9 класс
Задача №1. Даны неотрицательные действительные числа $a, b$ для которых $a+b=1$. Докажите следующее неравенство: $$\frac{a^2+b^2}{2} \le a^3+b^3.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В математический кружок ходят две девушки и семь мальчиков. Сколькими способами можно разделить этих девять человек на три группы по три человека так, чтобы в каждой группе было не менее двух мальчиков?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть $s(x)$ — сумма цифр натурального числа $x$, например: $s(2025)=2+0+2+5=9$. Докажите, что уравнение $s(n^2 )+2s(n+2)=2025$ не имеет решений в множестве натуральных чисел.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. $ABCD$ — квадрат. Окружность с центром в $C$ и радиусом $CB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $E$. Если $AB = 2$, найдите $AE$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)