Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 9 класс

Пусть $s(x)$ — сумма цифр натурального числа $x$, например: $s(2025)=2+0+2+5=9$. Докажите, что уравнение $s(n^2 )+2s(n+2)=2025$ не имеет решений в множестве натуральных чисел.

Комментарий/решение

${s(x)}\equiv{x}\pmod {9}$

${s(n²)}\equiv{n²}\pmod {9}$

${2s(n+2)}\equiv{2n+4}\pmod {9}$

${2025}\equiv{0}\pmod {9}$

$1)n=0, {0+4}\equiv{4}\pmod {9}$

$2)n=1, {1+6}\equiv{7}\pmod {9}$

$3)n=2, {4+8}\equiv{3}\pmod {9}$

$4)n=3, {9+10}\equiv{1}\pmod {9}$

$5)n=4, {16+12}\equiv{1}\pmod {9}$

$6)n=5, {25+14}\equiv{3}\pmod {9}$

$7)n=6, {36+16}\equiv{7}\pmod {9}$

$8)n=7, {49+18}\equiv{4}\pmod {9}$

$9)n=8, {64+20}\equiv{3}\pmod{9}$

iТак как 2025 дает остаток 0 при делении на 9, а сумма выражения дает остатки 1,3,4,7 уравнение не имеет решении в натуральных числах

Очевидно $n \equiv s(n) \pmod{3}$ и $n \equiv s(n) \pmod{9}$.

$3 \mid s(n^2) + 2s(n+2) = 2025 \equiv n^2 + 2(n+2) \equiv (n+1)^2 \pmod{3}$,

следовательно $3 \mid n+1$ и $9 \mid (n+1)^2$.

Кроме того, $9 \mid s(n^2) + 2s(n+2) = 2025 \equiv n^2 + 2(n+2) = (n+1)^2 + 3 \pmod{9}$,

откуда $(n+1)^2 \equiv 6 \pmod{9}$, но $6 \not\equiv 0 \pmod{9}$ — противоречие.