12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, третья лига, 11-12 классы

Задача №1. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=AC$. Точки $X$ и $Y$ лежат на стороне $BC$, причём $X$ находится между $B$ и $Y$. Обозначим описанную окружность треугольника $AYB$ через $\omega_{1}$. Окружность $\omega_{2}$ проходит через точки $C$ и $X$ и касается $AC$. Точки $M$ и $N$ — точки пересечения окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Докажите, что $\angle AMX=\angle BNX$.
комментарий/решение

Задача №2. Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. Различные точки $X$, $Y$ лежат на лучах $DB$, $CA$ соответственно так, что $DA=DX$, $CB=CY$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекают прямую $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что радикальная ось окружностей, описанных около треугольников $APC$ и $BQD$, и серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекаются в точке, лежащей на $\omega$.
комментарий/решение

Задача №3. Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$ $(AB \neq AC)$. На отрезке $AM$ отмечена произвольная точка $X$. Точка $A'$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ так, что $AA' \parallel BC$. Окружность, описанная около треугольника $AXA'$, вторично пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Пусть $P$ — точка пересечения прямых $BC$ и $A'X$. Докажите, что точки $P$, $M$, $E$, $F$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение

Задача №4. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=AC$. Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $BC$ так, что $\angle MAN=\frac{1}{2}\angle BAC$, причём $M$ лежит между $B$ и $N$. Пусть $P$ — центр описанной окружности треугольника $AMN$. Серединные перпендикуляры к $AM$ и $AN$ пересекают $BC$ в точках $R$ и $Q$ соответственно. Точка $S$ лежит на прямой $PR$, а $T$ на прямой $PQ$ так, что $ST \perp PA$. Точки $K$ и $L$ симметричны точке $A$ относительно прямых $QS$ и $RT$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $CMK$ и $BNL$ пересекаются на серединном перпендикуляре отрезка $BC$.
комментарий/решение

Задача №5. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Окружность $\omega_{1}$ касается отрезков $BE$, $CE$ а также касается описанной окружности треугольника $ABC$. Окружность $\omega_{2}$ касается отрезков $CF$, $BF$ а также касается описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ лежит на радикальной оси вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$.
комментарий/решение