12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, третья лига, 11-12 классы

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=AC$. Точки $X$ и $Y$ лежат на стороне $BC$, причём $X$ находится между $B$ и $Y$. Обозначим описанную окружность треугольника $AYB$ через $\omega_{1}$. Окружность $\omega_{2}$ проходит через точки $C$ и $X$ и касается $AC$. Точки $M$ и $N$ — точки пересечения окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Докажите, что $\angle AMX=\angle BNX$.

Комментарий/решение

Пусть $M$ внутри $\triangle ABC,$ тогда $\angle AMX=\angle AMN-\angle XMN=180-\angle ABN-\angle XCN=\angle BNC-\angle ABC=\angle BNX+\angle XNC-\angle ACB=\angle BNX$ и

$\angle ANX=\angle ANM-\angle XNM=\angle ABC-\angle MBC-\angle XCM=\angle ACM-\angle MBC=\angle MXC-\angle MBC=\angle BMX \blacksquare$