12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, третья лига, 11-12 классы

Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$ $(AB \neq AC)$. На отрезке $AM$ отмечена произвольная точка $X$. Точка $A'$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ так, что $AA' \parallel BC$. Окружность, описанная около треугольника $AXA'$, вторично пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Пусть $P$ — точка пересечения прямых $BC$ и $A'X$. Докажите, что точки $P$, $M$, $E$, $F$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Б.О.О. AC>AB

Пусть $(AFA')\cup AC=D\Rightarrow FD\parallel BC.$ Пусть $Q$ точка пересечения касательных из $X$ и $A'$ на $(AFA'),$ очевидно что $A'FXE$ гармонический четырехугольник, тогда $F,E,Q$ лежат на одной прямой. $\angle QA'C=\angle QA'D=\angle DFA'=\angle FA'A=\angle FEA=\angle QEC\Rightarrow QA'EC$ вписанный, тогда $\angle QCE=180-\angle QA'E=180-\angle EAA'=180-\angle ECB\Rightarrow Q,C,B$ лежат на одной прямой. $\angle XPM=\angle AA'X=180-\angle A'AX-\angle A'XA=180-\angle QXA=\angle QXM\Rightarrow QX $ касается с $(XPM)\Rightarrow QP\cdot QM=QX^2=QF\cdot QE\blacksquare$