12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, третья лига, 11-12 классы

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Окружность $\omega_{1}$ касается отрезков $BE$, $CE$ а также касается описанной окружности треугольника $ABC$. Окружность $\omega_{2}$ касается отрезков $CF$, $BF$ а также касается описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ лежит на радикальной оси вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Пусть $\omega$ - вписанная окружность $\triangle ABC$, $D = BC \cap \omega $, $l$ - радикальная ось вписанной и описанной окружностей $\triangle ABC$, $AB \cap l = T$, $AC \cap l = S$.

Пусть $E'$ симметрична $E$ относительно $S$, $EM$ - диаметр $\omega$, $SN$ - касательная к $\omega$ $(N \neq E)$, $SN \cap BE = K$, $BE \cap \omega = L$ $(L \neq E)$.

$SA \cdot SC = SE^2 \Rightarrow (E',E;A,C) = -1$ по известному свойству. $(AC \cap DF,E,A,C) \overset{D}{=} (F,E;AD \cap \omega,D) = -1 \Rightarrow E'-F-D$

$EL$ - симмедиана $\triangle DEF \Rightarrow$ четырехугольник $DEFL$ - гармонический $\Rightarrow E'L$ - касательная к $\omega$

$\angle MNE = 90^\circ$, $SE = SE' = SN \Rightarrow \angle ENE' = 90^\circ \Rightarrow E' - N - M \Rightarrow MN$ - симмедиана $\triangle LME \Rightarrow$ четырехугольник $NLME$ - гармонический.

$\Rightarrow EL$ - симмедиана $\triangle MEN \Rightarrow KM$ - касательная к $\omega \Rightarrow IK \perp NM$ $\|$ $IS$, так как $IS$ - средняя линия $\triangle ME'E$

Пусть $S$-вневписанная окружность $\triangle KSE$, с центром $O_1$, касается $SE$, $EK$, $KS$ в точках $T_1$, $T_2$, $T_3$ соответственно.

$SI$ - биссектриса $\angle KSE \Rightarrow O_1 \in SI$. $IE \perp AC \perp O_1T_1 \Rightarrow \triangle KSI \sim \triangle ISE \sim \triangle O_1ST_1$

По теореме Фалеса $\dfrac{O_1I}{T_1E}=\dfrac{SI}{SE}=\dfrac{KI}{IE} \Rightarrow \triangle KIO_1 \sim \triangle IET_1$

$O_1I \perp KI$, $O_1T_2 \perp KT_2 \Rightarrow KT_2IO_1$ - вписанный $\Rightarrow \angle O_1T_2I = \angle O_1KI = \angle T_1IE = \angle IT_1O_1$

$O_1T_1=O_1T_2 \Rightarrow$ так как $I \notin O_1E$ $($серединному перпендикуляру к $T_1T_2)$, $I \in T_1T_2 \Rightarrow$ По лемме Саваямы $(T_1T_2T_3)$ касается $(ABC) \Rightarrow (T_1T_2T_3) = \omega_1$

$\Rightarrow S$ - точка пересечения общих внешних касательных к $\omega$ и $\omega_1 \Rightarrow$ аналогично, $T$ - точка пересечения общих внешних касательных к $\omega$ и $\omega_2$

$\Rightarrow$ По теореме Монжа, точка пересечения общих внешних касательных $\omega_1$ и $\omega_2 \in TS \Rightarrow$ Tочка пересечения общих внешних касательных $\omega_1$ и $\omega_2 \in l$

Доказательство свойства:

Пусть даны точки $A,B,C,D$ на прямой, $C \in AB$, $(A,B;C,D) = -1$, $M$ - середина $AB$.

Построим окружность с диаметром $AB$. Пусть $K \in (AB)$, $KC \perp AB$.

Так как $(AB)$ - окружность аполлония для $CD$, $\angle DKB = \angle CKB = 90^\circ - \angle KBC = 90^\circ - \angle MKB \Rightarrow \angle MKD = 90^\circ$

$\Rightarrow MB^2 = MK^2 = MC \cdot MD \Rightarrow$ Так как существует только одна точка, дополняющая три другие до гармонической четверки, данное утверждение работает в обе стороны.