Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2022-2023 учебный год. 7 класс.

Задача №1. Дан треугольник $ABC$. Точки $X$ и $Y$ таковы, что точки $X,B,C,Y$ лежат на одной прямой в указанном порядке, причем $AC = BX$ и $AB = CY$. Точки $P,Q,R$ — середины отрезков $AX,AY,BC$ соответственно. Докажите, что если $\angle PRQ = 2\angle BAC$, то $\angle BAC = 60^\circ$.
комментарий/решение

---

Задача №2. Найдите все нечетные натуральные числа $n$, для которых существуют цифры $x_1,x_2,\ldots,x_n$, что $x_1>0$ и $$\overline{x_1x_2\ldots x_n} = x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3.$$ (Цифры — это числа $0,1,2,\ldots,9$.)
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Решите уравнение в натуральных числах \[b^3 + 2023 = a(3a^2+ 5ab + b^2). \]
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Среди чисел $1,2,\ldots,2023$ выбрано 1988 чисел. Докажите, что найдутся выбранные числа $a,b,c$ (необязательно различные) такие, что $a+b=c^2+2$.
комментарий/решение

---