қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2022-2023 учебный год. 7 класс.
Задача №1. Пусть $A B C$ — остроугольный треугольник с $\angle A C B=60^{\circ}$. Точки $D$ и $E$ являются основаниями перпендикуляров опущенных из $A$ и $B$ на стороны $B C$ и $A C$ соответственно. Точка $M$ — середина стороны $A B$. Докажите, что треугольник $D M E$ равносторонний.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. У Олжаса и Айбына куча из 2022 конфет. Они ходят по очереди, Олжас ходит первым. За каждый ход игрок может съесть либо одну конфету, либо (если количество конфет в тот момент четное) ровно половину всех конфет. Игрок, который не сможет сделать ход, проигрывает. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Найдите все положительные целые числа $n>2$, такие что $n=a^{3}+b^{3}$, где $a$ — наименьший положительный делитель $n$, больше 1, а $b$ — произвольный положительный делитель $n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Квадрат разрезан 18 линиями, 9 параллельны одной стороне, 9 параллельны другой стороне. Известно, что среди этих прямоугольников есть ровно 9 квадратов. Докажите, что 2 из них равны.
комментарий/решение
комментарий/решение