Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2022-2023 учебный год. 7 класс.

Пусть $A B C$ — остроугольный треугольник с $\angle A C B=60^{\circ}$. Точки $D$ и $E$ являются основаниями перпендикуляров опущенных из $A$ и $B$ на стороны $B C$ и $A C$ соответственно. Точка $M$ — середина стороны $A B$. Докажите, что треугольник $D M E$ равносторонний.

Комментарий/решение

Заметим что $DM$ = $MB$ = $ME$ = $MA$ .Значит $M$ является центром окружности описанной около $BDEA$. По условию следует что $\angle EBD$ = $\angle CAD$ = $30$.Тогда 2$\angle EAD$=$\angle EMD$=60 $\Rightarrow$ $EM$ = $MD$ = $ED$

Это задача баян

(Гордин книга) 2,114