8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур

Задача №1. На рисунке прямая дорога $AB$ поделена пятью точками на шесть участков, в которых они через одну равны, то есть $AC=DE=FG$, $CD=EF=GB$, причем $AC > CD$. В точке $A$ стоит первый автомобиль, а в точке $B$ — второй. За один час первый автомобиль может доехать до точки $G$, а второй — до точки $C$ (скорости автомобилей постоянны). Если эти автомобили одновременно выедут навстречу друг другу, то
а) через сколько минут они встретятся?
б) на каком участке (отрезке) они встретятся?

комментарий/решение

Задача №2. 30 натуральных чисел от 1 до 30 записали в один ряд (слева направо) в порядке возрастания. Поочередно с числами ряда проделываются следующие операции: сначала берем первые 2 числа и переставляем их в обратном порядке; потом первые 3 числа, и переставляем их в обратном порядке; и так далее; в конце берем первые 30 чисел и переставляем их в обратном порядке. На каком месте (считая слева) после последней операции будет стоять число 1?
комментарий/решение

Задача №3. На окружности записаны 99 ненулевых чисел, среди которых есть как положительное, так и отрицательное число. Докажите, что найдется 5 подряд идущих чисел, произведение которых равно отрицательному числу.
комментарий/решение

Задача №4. Восстановите верный пример, где цифры заменены звездочками: $$1*8 \times **7=72*76.$$ Найдите все ответы и докажите, что других нет.
комментарий/решение

Задача №5. На доске записаны 15 натуральных чисел, каждое число больше 1 и меньше 2025. Известно, что среди записанных чисел любые два числа взаимно просты. Докажите, среди чисел на доске есть простое число. (Два числа называются взаимно простыми, если их НОД равен 1.)
комментарий/решение(1)