қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2022 год. Венгрия
Есеп №2. Әдеттегідей, $\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$ — барлық натурал сандар жиыны болсын. Кез келген $a$, $b$ натурал сандары үшін
(1) $f(ab)=f(a)f(b)$;
(2) $f(a)$, $f(b)$ және $f(a+b)$ сандарының кемінде екеуі бір-біріне тең
деген екі шарт орындалатындай барлық $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение
(1) $f(ab)=f(a)f(b)$;
(2) $f(a)$, $f(b)$ және $f(a+b)$ сандарының кемінде екеуі бір-біріне тең
деген екі шарт орындалатындай барлық $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение
Есеп №3. Натурал сандардан құралған шексіз $a_1,a_2,\ldots$ тізбегі жақсы деп аталады, егер келесі екі шарт орындалса:
(1) $a_1$ — толық квадрат;
(2) әрбір $n \geq 2$ үшін $na_1+(n-1)a_2+\ldots+2a_{n-1}+a_n$ қосындысы толық квадрат болатындай $a_n$ деп ең кіші натурал саны анықталған.
Кез келген жақсы $a_1,a_2,\ldots$ жақсы тізбегі үшін, барлық $n \geq k$ үшін $a_n=a_k$ болатындай натурал $k$ санының табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
(1) $a_1$ — толық квадрат;
(2) әрбір $n \geq 2$ үшін $na_1+(n-1)a_2+\ldots+2a_{n-1}+a_n$ қосындысы толық квадрат болатындай $a_n$ деп ең кіші натурал саны анықталған.
Кез келген жақсы $a_1,a_2,\ldots$ жақсы тізбегі үшін, барлық $n \geq k$ үшін $a_n=a_k$ болатындай натурал $k$ санының табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Есеп №4. Әрбір $n \geq 2$ натурал саны үшін, келесі шарттарды қанағаттандыратын $a_0,a_1,\ldots,a_N$ нақты сандар жиыны табылатындай, мүмкін болатын ең үлкен $N$ натурал санын табыңыз:
(1) $a_0+a_1=-\frac{1}{n}$;
(2) $\left(a_k+a_{k-1}\right)\left(a_k+a_{k+1}\right)=a_{k-1}-a_{k+1}$ кез келген $1 \leq k \leq N-1$ үшін.
комментарий/решение
(1) $a_0+a_1=-\frac{1}{n}$;
(2) $\left(a_k+a_{k-1}\right)\left(a_k+a_{k+1}\right)=a_{k-1}-a_{k+1}$ кез келген $1 \leq k \leq N-1$ үшін.
комментарий/решение
Есеп №5. Әрбір $n$, $k$ натурал сандары үшін $f(n,2k)$ деп өлшемі $n \times 2k$ болатын торды $2 \times 1$ өлшемдегі $nk$ доминолармен толық жабудың тәсілдерінің санын белгілейік. (Мысалы, $f(2,2)=2$ және $f(3,2)=3$.)
Әрбір $k$ үшін $f(n,2k)$ тақ сан болатындай барлық $n$ натурал сандарын табыңыз.
комментарий/решение
Әрбір $k$ үшін $f(n,2k)$ тақ сан болатындай барлық $n$ натурал сандарын табыңыз.
комментарий/решение
Есеп №6. $ABCD$ төртбұрышы центрі $O$ болатын шеңберге іштей сызылған. $A$ және $B$ төбелеріндегі ішкі бұрыштардың биссектрисалары $X$ нүктесінде, $B$ және $C$ төбелерінікі — $Y$ нүктесінде, $C$ және $D$ төбелерінікі — $Z$ нүктесінде, ал $D$ және $A$ төбелерінікі — $W$ нүктесінде қиылысады. $AC$ және $BD$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. Егер $X$, $Y$, $Z$, $W$, $O$ және $P$ нүктелері әртүрлі болса, онда келесі екі шарт эквивалентті екенін дәлелдеңіз: $O$, $X$, $Y$, $Z$, $W$ бір шеңбердің бойында жатса, $P$, $X$, $Y$, $Z$, $W$ бір шеңбердің бойында жатады.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)