Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2022 год. Венгрия

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Биссектрисы внутренних углов с вершинами $A$ и $B$ пересекаются в точке $X$, биссектрисы внутренних углов с вершинами $B$ и $C$ пересекаются в точке $Y$, биссектрисы внутренних углов с вершинами $C$ и $D$ пересекаются в точке $Z$, а биссектрисы внутренних углов с вершинами $D$ и $A$ пересекаются в точке $W$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Предположим, что точки $X,$ $Y,$ $Z,$ $W,$ $O$ и $P$ различны. Докажите, что точки $O,$ $X,$ $Y,$ $Z$ и $W$ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда точки $P,$ $X,$ $Y,$ $Z$ и $W$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Пусть $AB \cap CD = E$ и $AD \cap BC = F$ и $AC \cap EF = K$ и $M$ - середина $AC.$ Заметим то что $XYZW$ - вписанный, так как $\angle WXY = \angle AXB = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$ и $\angle WZY = \angle CZD = 180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2} = \frac{\angle A + \angle B}{2}.$ Теперь заметим то что $W$ - центр вписанной окружности для $\triangle AED$ и $Y$ - центр вневписанной окружности для $\triangle BEC \Rightarrow E, W, Y$ - лежат на одной прямой. Так как $\angle XYW = \angle BYE = \frac{\angle BCE}{2} = \frac{\angle A}{2} \Rightarrow (ABWY).$ Из этого можно получить то что $pow(E, (XYZW)) = pow (E, (ABWY)) = pow (E, (ABCD)).$ Проделав аналогично для $F$ мы получим то что $EF$ - радикальная ось для $(ABCD), (XYZW).$ Так как четырехугольник $ABCD$ полный, то мы имеем $[K, P, C, A] = -1 \Rightarrow KA \cdot KC = KP \cdot KM \Rightarrow pow(K, (MOP)) = pow(K, (ABCD)) \Rightarrow EF$ - радикальная ось для $(ABCD), (XYZW), (MOP).$ Если $(XYZW) \ne (MOP) \Rightarrow$ они не пересекаются, но по условии мы имеем $(PXYZW)$ и то что $P \notin EF \Rightarrow (MOP) = (XYZW) \Rightarrow (OXYZW). \square$