қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2022 год. Венгрия
Задача №1. Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $BC < AB$ и $BC < CA$. Точка $P$ лежит на отрезке $AB$, а точка $Q$ лежит на отрезке $AC$ так, что $P \neq B,$ $Q \neq C$ и $BQ=BC=CP$. Точка $T$ — центр описанной окружности треугольника $APQ$, точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$, а $S$ — точка пересечения прямых $BQ$ и $CP$. Докажите, что точки $T,$ $H$ и $S$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Как обычно, через $\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$ обозначим множество всех натуральных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такие, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняются следующие два условия:
(1) $f(a b)=f(a) f(b)$,
(2) хотя бы два из чисел $f(a), f(b)$ и $f(a+b)$ равны друг другу.
комментарий/решение
(1) $f(a b)=f(a) f(b)$,
(2) хотя бы два из чисел $f(a), f(b)$ и $f(a+b)$ равны друг другу.
комментарий/решение
Задача №3. Назовём бесконечную последовательность натуральных чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots$ хорошей, если выполнены следующие два условия:
(1) $a_{1}$ — полный квадрат,
(2) для любого целого числа $n \geq 2$, число $a_{n}$ — наименьшее натуральное число такое, что сумма $$ n a_{1}+(n-1) a_{2}+\ldots+2 a_{n-1}+a_{n} $$ является полным квадратом.
Докажите, что для любой хорошей последовательности $a_{1}, a_{2}, \ldots$ существует натуральное число $k$ такое, что $a_{n}=a_{k}$ для всех целых чисел $n \geq k$.
комментарий/решение
(1) $a_{1}$ — полный квадрат,
(2) для любого целого числа $n \geq 2$, число $a_{n}$ — наименьшее натуральное число такое, что сумма $$ n a_{1}+(n-1) a_{2}+\ldots+2 a_{n-1}+a_{n} $$ является полным квадратом.
Докажите, что для любой хорошей последовательности $a_{1}, a_{2}, \ldots$ существует натуральное число $k$ такое, что $a_{n}=a_{k}$ для всех целых чисел $n \geq k$.
комментарий/решение
Задача №4. Для каждого натурального числа $n \geq 2$ определите наибольшее натуральное число $N$, для которого существуют $N+1$ вещественных чисел $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{N}$ таких, что
(1) $a_{0}+a_{1}=-\frac{1}{n}$,
(2) $\left(a_{k}+a_{k-1}\right)\left(a_{k}+a_{k+1}\right)=a_{k-1}-a_{k+1}$ при $1 \leq k \leq N-1$.
комментарий/решение
(1) $a_{0}+a_{1}=-\frac{1}{n}$,
(2) $\left(a_{k}+a_{k-1}\right)\left(a_{k}+a_{k+1}\right)=a_{k-1}-a_{k+1}$ при $1 \leq k \leq N-1$.
комментарий/решение
Задача №5. Для каждой пары натуральных чисел $n$ и $k$ через $f(n, 2 k)$ обозначим количество способов, которыми можно полностью накрыть доску размера $n \times 2 k$ при помощи $n k$ доминошек размера $2 \times 1$. (Например, $f(2,2)=2$ и $f(3,2)=3$.)
Найдите все натуральные числа $n$ такие, что для каждого натурального числа $k$ число $f(n, 2 k)$ нечётно.
комментарий/решение
Найдите все натуральные числа $n$ такие, что для каждого натурального числа $k$ число $f(n, 2 k)$ нечётно.
комментарий/решение
Задача №6. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Биссектрисы внутренних углов с вершинами $A$ и $B$ пересекаются в точке $X$, биссектрисы внутренних углов с вершинами $B$ и $C$ пересекаются в точке $Y$, биссектрисы внутренних углов с вершинами $C$ и $D$ пересекаются в точке $Z$, а биссектрисы внутренних углов с вершинами $D$ и $A$ пересекаются в точке $W$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Предположим, что точки $X,$ $Y,$ $Z,$ $W,$ $O$ и $P$ различны. Докажите, что точки $O,$ $X,$ $Y,$ $Z$ и $W$ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда точки $P,$ $X,$ $Y,$ $Z$ и $W$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение
комментарий/решение