Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2022 год. Венгрия

Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $BC < AB$ и $BC < CA$. Точка $P$ лежит на отрезке $AB$, а точка $Q$ лежит на отрезке $AC$ так, что $P \neq B,$ $Q \neq C$ и $BQ=BC=CP$. Точка $T$ — центр описанной окружности треугольника $APQ$, точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$, а $S$ — точка пересечения прямых $BQ$ и $CP$. Докажите, что точки $T,$ $H$ и $S$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

$BH\bot QC; BQ=BC\longrightarrow \angle HBC=\angle HBQ; BQ=BC\Longrightarrow \triangle BHQ=\triangle BHS\Longrightarrow \angle BQH=\angle BCH=\angle HCS\Longrightarrow HSQC$ вписаннный

$\angle SBC=\angle QBC=180-\angle BCQ=180-2\angle ACB,$ Аналогично $\angle SCB=180-2\angle ABC\Longrightarrow \angle PSQ=\angle BSC=180-2\angle BAC=180-\angle PTQ\Longrightarrow PTQS$ вписанный.

$\angle TSQ=\angle TPQ=\angle TQP=\angle TSP\Longrightarrow TS$ биссектриса $\angle BSC.$ Так как $\angle HBC=\angle HCQ;$ $\angle HCB=\angle HCS\Longrightarrow HS$ биссектриса угла $\angle BSC$ Значить $T,S,H$ лежат на одной прямой.

Или так:

$$\angle TSQ=\angle TPQ\Longrightarrow \angle PTQ=180-2\angle TSQ=90-\angle PAQ=\angle ACH=180-\angle HCQ\Longrightarrow \angle TSH=\angle TSQ+\angle HCQ=180$$