Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2021 год. Грузия

Задача №1. Число 2021 — сказочное. Если для положительного целого $m$ какой-либо элемент из набора $\{m, 2 m+1,3 m\}$ является сказочным, то и все элементы набора являются сказочными. Следует ли из этого, что число $2021^{2021}$ является сказочным?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите все функции $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ такие, что равенство $$ f(x f(x)+y)=f(y)+x^{2} $$ выполняется для всех рациональных чисел $x$ и $y$. Напомним, что $\mathbb{Q}$ — это множество рациональных чисел.
комментарий/решение(4)

Задача №3. Пусть $ABC$ — треугольник с тупым углом при вершине $A$. Пусть $E$ и $F$ — точки пересечения внешней биссектрисы угла $A$ с высотами треугольника $ABC$, проведёнными из вершин $B$ и $C$ соответственно. Точки $M$ и $N$ выбраны на отрезках $EC$ и $FB$ соответственно так, что $\angle EMA=\angle BCA$ и $\angle ANF=\angle ABC$. Докажите, что точки $E,$ $F,$ $N$ и $M$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $D$ — произвольная точка на стороне $BC$. Прямая, проходящая через $D$ перпендикулярно $BI$, пересекает прямую $CI$ в точке $E$, а прямая, проходящая через $D$ перпендикулярно $CI$, пересекает прямую $BI$ в точке $F$. Докажите, что точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $EF$, лежит на прямой $BC$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. На плоскости отмечена точка $O$, называемая началом. Пусть $P$ — множество, состоящее из 2021 точки на плоскости такое, что
   (i) никакие три точки $P$ не лежат на одной прямой, и
   (ii) никакие две точки $P$ не лежат на прямой, проходящей через начало.
   Треугольник с вершинами из $P$ называется толстым, если $O$ лежит строго внутри этого треугольника. Найдите максимально возможное число толстых треугольников.
комментарий/решение

Задача №6. Существует ли неотрицательное целое число $a$, для которого уравнение $$ \left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor=n^{2}+a $$ имеет более одного миллиона различных решений ($m, n$), где $m$ и $n$ — положительные целые числа?
Как обычно, $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$. Например, $\lfloor\sqrt{2}\rfloor=1,\lfloor\pi\rfloor=\lfloor 22 / 7\rfloor=3$, $\lfloor 42\rfloor=42$ и $\lfloor 0\rfloor=0$.
комментарий/решение

результаты