Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2021 год. Грузия

Пусть $ABC$ — треугольник с тупым углом при вершине $A$. Пусть $E$ и $F$ — точки пересечения внешней биссектрисы угла $A$ с высотами треугольника $ABC$, проведёнными из вершин $B$ и $C$ соответственно. Точки $M$ и $N$ выбраны на отрезках $EC$ и $FB$ соответственно так, что $\angle EMA=\angle BCA$ и $\angle ANF=\angle ABC$. Докажите, что точки $E,$ $F,$ $N$ и $M$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

1) Пусть $S \in BE \cap CF$ то, так как $EF$ - биссектриса и $\angle EBA = \angle FCA$ значит $SEF$ - равнобедренный.

2) Пусть $\omega$ окружность с центром $S$ и $R=SE=SF$, пусть $D \in CE \cap \omega$ тогда $\angle CDF = \dfrac{\angle BSC}{2} = \dfrac{\angle ABC + \angle ACB}{2}$ но $\angle CAF = \dfrac{\angle ABC + \angle ACB}{2}$ то есть $ADCF$ вписанный, если $O_1$ - ее центр, тогда $CO_1F=2\angle CDF = \angle ABC + \angle ACB$ если $M \in CD \cap SO_1$ тогда, так как $SO_1 \perp DF$ получается $\angle CMF = 2 \angle CDF$ то есть $O_1MFC$ - вписанный.

3) Исходя из 2 пункта, получается что при инверсии относительно окружности с центром $O_1$ радиусом $O_1A$ получается что прямая $CF$ переходит в окружность $CO_1MF$ а точка $M$ переходит в $S$.

4) Покажем что $\angle EMA = \angle BCA$, как было показано в п.3 получаем что $O_1M \cdot O_1S=O_1A^2$ то есть треуг-и $O_1AM, O_1AS$ подобны $(1)$, $G \in O_1A \cap CD$ если $\angle DSO_1=x, \angle MFD=y$ тогда из того что $O_1M \cdot O_1S=O_1D^2$ откуда $\angle DSO_1 = \angle O_1DM=x$ значит $\angle O_1CM = x$ но $\angle EDF = \dfrac{\angle DSF}{2} = x$ то есть $FA || O_1C$ и $EMFS$ вписанный, покажем что $GAMF$ - вписанный, тогда учитывая что $AF || O_1C$ и $EMFS$ - вписанный, получаем $\angle GAF = \angle 180-\angle AO_1C = 180-2(180- \angle AFC) = 2\angle AFC - 180 = 2(180- \angle AFS) - 180$ $= 180 - 2\angle AFS = 180 - 2\angle EMS = 180-2(90-y) = 2y$ в тоже время $\angle GMF = 2(90-y) = 180-2y$ то есть $GAMF$ - вписанный.

5) Покажем что $\angle EMA = \angle ESA$ это и докажет что $\angle EMA = \angle BCA$.

Доказательство: $\angle ESA = \angle ESM - \angle O_1SA = 2y-x-O_1SA$, учитывая $(1)$ и вписанность $GAFM$ из треугольника $GMA$ получаем $\angle EMA = 180-\angle AGM - \angle GAM = 180-(180-\angle MFA) - \angle O_1SA$ $= \angle MFA - \angle O_1SA = 2y-x - O_1SA$ то есть равны.

6) Аналогично $N$ лежит на окружности описанной около $ESF$ откуда $MNEFS$ вписанный.