Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2021 год. Грузия

Число 2021 — сказочное. Если для положительного целого $m$ какой-либо элемент из набора $\{m, 2 m+1,3 m\}$ является сказочным, то и все элементы набора являются сказочными. Следует ли из этого, что число $2021^{2021}$ является сказочным?

Комментарий/решение

$m\leftrightarrow 3m\leftrightarrow 6m+1\leftrightarrow 12m+3\leftrightarrow 4m+1\leftrightarrow 2m\Longrightarrow 2021\leftrightarrow 1010\leftrightarrow 505 \leftrightarrow 252\leftrightarrow 84\leftrightarrow 28\leftrightarrow 14\leftrightarrow 7 \leftrightarrow 3\leftrightarrow 1.$

Пусть $\left\{1,2,..x \right\}$ сказачное, $1)x=2x_1\Longrightarrow x_1$ сказачное число $\longrightarrow 2x_1+1=x+1$ сказачное . $2)x=2x_1+1\Longrightarrow x_1+1<x\Longrightarrow x_1+1\leftrightarrow 2x_1+2=x+1$ сказачное число. Таким образом, все целые числа являются числами фей.