қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2017 год. Швейцария
Задача №1. Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle DAB=\angle BCD=90^{\circ}$ и $\angle ABC > \angle CDA$. Пусть $Q$ и $R$ — точки пересечения некоторой прямой с отрезками $BC$ и $CD$, соответственно, а $P$ и $S$ — точки пересечения этой прямой с прямыми $AB$ и $AD$, соответственно. Известно, что $PQ=RS$. Обозначим середину отрезка $BD$ через $M$, а середину отрезка $QR$ через $N$. Докажите, что точки $M,$ $N,$ $A$ и $C$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Найдите наименьшее положительное целое число $k$, для которого существуют: раскраска положительных целых чисел $\mathbb{Z}_{ > 0}$ в $k$ цветов и функция $f: \mathbb{Z}_{ > 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{ > 0}$, удовлетворяющая следующим двум условиям:
(i) Для всех положительных целых чисел $m, n$ одинакового цвета $f(m+n)=f(m)+f(n)$.
(ii) Найдутся положительные целые числа $m, n$ такие, что $f(m+n) \neq f(m)+f(n)$.
В раскраске $\mathbb{Z}_{ > 0}$ в $k$ цветов каждое целое число окрашено ровно в один из $k$ цветов. В условиях (i) и (ii) положительные целые числа $m, n$ не обязательно различны.
комментарий/решение
(i) Для всех положительных целых чисел $m, n$ одинакового цвета $f(m+n)=f(m)+f(n)$.
(ii) Найдутся положительные целые числа $m, n$ такие, что $f(m+n) \neq f(m)+f(n)$.
В раскраске $\mathbb{Z}_{ > 0}$ в $k$ цветов каждое целое число окрашено ровно в один из $k$ цветов. В условиях (i) и (ii) положительные целые числа $m, n$ не обязательно различны.
комментарий/решение
Задача №3. На плоскости даны 2017 прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку. Улитка Турбо сидит в некоторой точке ровно на одной из прямых и начинает ползти по прямым, следуя правилам: она движется по прямой до тех пор, пока не доползёт до точки пересечения прямых. В точке пересечения она продолжает движение по другой прямой, поворачивая поочерёдно направо или налево, меняя выбор направления поворота в следующей точке пересечения прямых. Она может менять направление движения только в точках пересечения прямых. Могло ли оказаться, что по некоторому отрезку она ползла в обоих направлениях во время своего путешествия?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Пусть $n \geq 1$ — целое число и $t_{1} < t_{2} < \ldots < t_{n}$ — положительные целые числа. В группе из $t_{n}+1$ человек некоторые сыграли между собой в шахматы. Два человека могли сыграть между собой не более одной партии. Докажите, что могло оказаться так, что одновременно будут выполняться два условия:
(i) Количество игр, сыгранных каждым человеком — одно из чисел $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}$.
(ii) Для каждого $i$, такого, что $1 \leq i \leq n$, найдётся человек, который сыграл ровно $t_{i}$ партий.
комментарий/решение
(i) Количество игр, сыгранных каждым человеком — одно из чисел $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}$.
(ii) Для каждого $i$, такого, что $1 \leq i \leq n$, найдётся человек, который сыграл ровно $t_{i}$ партий.
комментарий/решение
Задача №5. Пусть $n \geq 2$ — целое число. Упорядоченный набор ($a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$) не обязательно различных положительных целых чисел назовём дорогой $n$-кой, если существует положительное целое число $k$ такое, что $$ \left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right) \cdots \cdots\left(a_{n-1}+a_{n}\right)\left(a_{n}+a_{1}\right)=2^{2 k-1}. $$
a) Найдите все целые числа $n \geq 2$, для которых существует дорогая $n$-ка.
b) Докажите, что для каждого нечётного положительного целого числа $m$ существует целое число $n \geq 2$ такое, что число $m$ встречается в какой-то дорогой $n$-ке.
В левой части равенства содержится ровно $n$ сомножителей.
комментарий/решение
a) Найдите все целые числа $n \geq 2$, для которых существует дорогая $n$-ка.
b) Докажите, что для каждого нечётного положительного целого числа $m$ существует целое число $n \geq 2$ такое, что число $m$ встречается в какой-то дорогой $n$-ке.
В левой части равенства содержится ровно $n$ сомножителей.
комментарий/решение
Задача №6. Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором все стороны различны. Обозначим точки, симметричные центроиду $G$ и центру $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ относительно его сторон $BC,$ $CA,$ $AB$ через $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ и $O_{1}, O_{2}, O_{3}$, соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $G_{1}G_{2}C,$ $G_{1}G_{3}B,$ $G_{2}G_{3}A,$ $O_{1}O_{2}C,$ $O_{1}O_{3}B,$ $O_{2}O_{3}A$ и $ABC$ пересекаются в одной точке. Центроидом треугольника называется точка пересечения его медиан.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)