Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2017 год. Швейцария

$n \ge 2$ — бүтiн саны берiлген. ($a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$) реттелген жиынтығы қымбат $n$-жиынтық деп аталады (жиынтықта кейбiр сандар тең болуы мүмкiн), егер келесi шарт орындалатындай $k$ натурал сан табылса: $$ \left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right) \cdots \cdots\left(a_{n-1}+a_{n}\right)\left(a_{n}+a_{1}\right)=2^{2 k-1}. $$
   a) Қымбат $n$-жиынтық табылатындай барлық бүтiн $n \ge 2$ сандырын табыңыз.
   b) Кез келген тақ натурал $m$ саны үшiн кейбiр қымбат $n$-жиынтықта $m$ саны кездесетiндей бүтiн $n \ge 2$ саны табылатынын дәлелдеңiз.
   Теңдiктiң сол жағы тура $n$ көбейтiндiден құрылған.