Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2017 год. Швейцария

Пусть $n \geq 2$ — целое число. Упорядоченный набор ($a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$) не обязательно различных положительных целых чисел назовём дорогой $n$-кой, если существует положительное целое число $k$ такое, что $$ \left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right) \cdots \cdots\left(a_{n-1}+a_{n}\right)\left(a_{n}+a_{1}\right)=2^{2 k-1}. $$
   a) Найдите все целые числа $n \geq 2$, для которых существует дорогая $n$-ка.
   b) Докажите, что для каждого нечётного положительного целого числа $m$ существует целое число $n \geq 2$ такое, что число $m$ встречается в какой-то дорогой $n$-ке.
   В левой части равенства содержится ровно $n$ сомножителей.