Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2017 год. Швейцария

$\angle DAB=\angle BCD=90^{\circ}$ және $\angle ABC>\angle CDA$ болатындай дөңес $ABCD$ төртбұрышы берiлген. Бiр түзу $BC$ мен $CD$ кесiндiлердi сәйкесiнше $Q$ мен $R$ нүктелерiнде қияды, және сол түзу $AB$ мен $AD$ түзулердi сәйкесiнше $P$ мен $S$ нүктелерiнде қияды. $PQ=RS$ екенi белгiлi. $M$ нүктесi $BD$ кесiндiнiң ортасы болсын, ал $N$ нүктесi $QR$ кесiндiнiң ортасы болсын. $M$, $N$, $A$ және $C$ нүктелерi бiр шеңбердiң бойында жататынын дәлелдеңiз.

Комментарий/решение

Очевидно, что $N$ - середина $PS$, значит $AN$ и $CN$ - медианы в прямоугольных треугольниках $PAS$ и $QCR$ соответственно.

Обозначим $\angle DPS=\alpha$ и $\angle DSR=\beta$. Значит, $\angle NRC=\alpha$, отсюда $\angle QNC=2\alpha$, аналогично получим, что $\angle ANQ=2\beta$. Поэтому $\angle ANC=\angle NRC+\angle QNC=2(\alpha +\beta)$. Значит для решения задачи необходимо показать, что $\angle AMC=2(\alpha+\beta)$. Из теоремы о внешнем угле для треугольника $DRS$: $\angle ADC=\alpha +\beta$. Из условия ясно, что $M$ - центр $(ABCD)$, отсюда $\angle AMC=2\angle ADC=2(\alpha +\beta)$. Значит, точки $M,N,A$ и $C$ действительно лежат на одной окружности.