1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Международные олимпиады
  4. Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO)
  5. EGMO 2015

Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2015 год. Беларусь


Задача №1. Пусть $\triangle ABC$ — остроугольный треугольник, а точка $D$ — основание высоты, проведённой из вершины $C$. Биссектриса угла $\angle ABC$ пересекает $CD$ в точке $E$, а описанную окружность $\omega$ треугольника $\triangle ADE$ вторично пересекает в точке $F$. Докажите, что если угол $\angle ADF=45^{\circ}$, то $CF$ является касательной к окружности $\omega$.
комментарий/решение
Задача №2. Домино — это плитка размера $2 \times 1$ или $1 \times 2$. Определите количество различных способов расположить ровно $n^{2}$ плиток домино без наложений на шахматной доске размера $2 n \times 2 n$ так, что каждый квадрат размера $2 \times 2$ содержит по крайней мере две пустых клетки, которые находятся в одной и той же строке или одном и том же столбце.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $n, m$ — натуральные числа, большие 1, и пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}$ — натуральные числа, не превосходящие $n^{m}$. Докажите, что существуют натуральные числа $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$, не превосходящие $n$, такие, что $$\text{НОД}\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \ldots, a_{m}+b_{m}\right) < n,$$ где $\text{НОД}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)$ обозначает наибольший общий делитель чисел $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$.
комментарий/решение
Задача №4. Определите, существует ли бесконечная последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ натуральных чисел, удовлетворяющая равенству $$ a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1}+a_{n}} $$ для любого натурального значения $n$.
комментарий/решение
Задача №5. Пусть $m$ и $n$ являются натуральными числами, причём $m>1$. Анастасия разбивает натуральные числа $1,2, \ldots, 2 m$ на $m$ пар. Затем Борис выбирает по одному числу из каждой пары и находит сумму этих выбранных чисел. Докажите, что Анастасия может выбрать разбиение на пары так, что Борис не сможет сделать свою сумму равной $n$.
комментарий/решение
Задача №6. Пусть $H$ — ортоцентр, а $G$ — центр тяжести остроугольного треугольника $\triangle ABC$, причём $AB \neq AC$. Прямая $AG$ пересекает описанную окружность $\triangle ABC$ в точках $A$ и $P$. Пусть $P'$ — отражение точки $P$ относительно прямой $BC$. Докажите, что угол $\angle CAB=60^{\circ}$ тогда и только тогда, когда $HG=GP'$.
комментарий/решение