Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2015 год. Беларусь

Определите, существует ли бесконечная последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ натуральных чисел, удовлетворяющая равенству $$ a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1}+a_{n}} $$ для любого натурального значения $n$.

Комментарий/решение

Введем $b_i = a_{i+1} - a_i$. Очевидно $\{a_n\}$ возрастающая последовательность. Тогда

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = \sqrt{a_{n+1} + a_n}$.

$b_{n+1}^2 - b_n^2 = (a_{n+1}+a_n) - (a_n + a_{n-1}) = a_{n+1} - a_{n-1}$.

Кроме того, $a_{n+1} - a_{n-1} = (a_{n+1} - a_n) + (a_n - a_{n-1}) = b_n + b_{n-1}$.

Получаем

$b_{n+1}^2 - b_n^2 = b_n + b_{n-1} \iff b_{n+1} - b_n = \dfrac{b_n + b_{n-1}}{b_{n+1} + b_n}$.

Теперь пусть $n \ge 5$. В $\text{LHS}$ числитель $b_n + b_{n-1} < 2b_n$, а знаменатель $b_n + b_{n+1} > 2b_n$ (поскольку $\{a_n\}$ возрастает, то $\{b_n\}$ тоже возрастает), значит

$0 < \text{LHS} < 1$, т.е. $\text{LHS}$ не является целым числом, тогда как $\text{RHS} = b_{n+1} - b_n$ — целое число. Противоречие. $\blacksquare$

Ты зачем эту олимпу решал

serzhanus YaEbalTvoyAnus привет