Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2012 год. Великобритания
Задача №1. Пусть $ABC$ — треугольник с центром описанной окружности в точке $O$. Точки $D,$ $E$ и $F$ лежат внутри сторон $BC,$ $CA$ и $AB$ соответственно, так, что $DE$ перпендикулярна к $CO$ и $DF$ перпендикулярна к $BO$. (Таким образом, точка $D$ лежит на прямой $BC$ между точками $B$ и $C$ и т.д.) Пусть $K$ — центр описанной окружности треугольника $AFE$. Докажите, что прямые $DK$ и $BC$ перпендикулярны.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $n$ — натуральное число. В зависимости от $n$ найдите наибольшее возможное целое $m$ со следующим свойством: таблицу с $m$ рядами и $n$ столбцами можно заполнить действительными числами так, что для любых двух различных рядов $\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right]$ и $\left[b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right]$ выполняется следующее: $$ \max \left(\left|a_{1}-b_{1}\right|,\left|a_{2}-b_{2}\right|, \ldots,\left|a_{n}-b_{n}\right|\right)=1.$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что $$ f(y f(x+y)+f(x))=4 x+2 y f(x+y) $$ для любых $x, y \in \mathbb{R}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Множество целых чисел $A$ называется суммо-полным, если $A \subseteq A+A$, т.е. любой элемент $a \in A$ является суммой некоторой пары (не обязательно различных) элементов $b, c \in A$. Множество целых чисел $A$ называется без-суммы-ноль, если 0 — единственное целое число, которое не представимо в виде суммы элементов конечного непустого подмножества множества $A$. Существует ли суммо-полное без-суммы-ноль множество целых чисел?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Простые числа $p$ и $q$ удовлетворяют условию $$ \frac{p}{p+1}+\frac{q+1}{q}=\frac{2 n}{n+2}$$ для некоторого натурального $n$. Найдите все возможные значения $q-p$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Бесконечное количество людей зарегистрированы в социальной сети Mugbook. Некоторые пары (различных) пользователей зарегистрированы как друзья, но у каждого только конечное количество друзей. У каждого пользователя есть по крайней мере один друг. (Дружба симметрична, т.е. если $A$ друг $B$, то $B$ — друг $A$.)
Каждый человек должен назвать одного из своих друзей лучшим другом. Если $A$ называет $B$ своим лучшим другом, то (к сожалению) это не значит, что $B$ обязательно назовет $A$ своим лучшим другом. Особа, которую назвали лучшим другом, называется 1-лучшим другом. Вообще для натурального $n>1$ пользователь называется $n$-лучшим другом, если его назвал лучшим другом человек, который является $(n-1)$-лучшим другом. Особа, которая является $k$-лучшим другом для любого натурального $k$, называется популярной.
(a) Докажите, что каждая популярная особа является лучшим другом другой популярной особы.
(b) Докажите, что если у пользователей может быть бесконечное количество друзей, то может случиться так, что популярная особа не является лучшим другом популярной особы.
комментарий/решение
Каждый человек должен назвать одного из своих друзей лучшим другом. Если $A$ называет $B$ своим лучшим другом, то (к сожалению) это не значит, что $B$ обязательно назовет $A$ своим лучшим другом. Особа, которую назвали лучшим другом, называется 1-лучшим другом. Вообще для натурального $n>1$ пользователь называется $n$-лучшим другом, если его назвал лучшим другом человек, который является $(n-1)$-лучшим другом. Особа, которая является $k$-лучшим другом для любого натурального $k$, называется популярной.
(a) Докажите, что каждая популярная особа является лучшим другом другой популярной особы.
(b) Докажите, что если у пользователей может быть бесконечное количество друзей, то может случиться так, что популярная особа не является лучшим другом популярной особы.
комментарий/решение
Задача №7. Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник с описанной окружностью $\Gamma$ и ортоцентром $H$. Пусть $K$ — точка на окружности Г по другую сторону от точки $A$ относительно $BC$. Пусть $L$ — симметрична $K$ относительно $AB$, а $M$ — симметрична $K$ относительно прямой $BC$. Пусть $E$ — вторая точка пересечения Г и описанной окружности треугольника $BLM$. Докажите, что прямые $KH,$ $EM$ и $BC$ пересекаются в одной точке. (Ортоцентром треугольника называется точка пересечения его высот.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Слово — это конечная последовательность букв из некоторого алфавита. Слово называется повторяющийся, если это сцепление по крайней мере двух одинаковых подслов (например, $ab ab ab$ и $ab ca bc$ — повторяющиеся, а $ab ab a$ и $aa bb$ — нет). Докажите, что если в слове любая перестановка двух соседних букв делает слово повторяющимся, то все буквы в этом слове одинаковы. (Заметим, что перестановка двух соседних одинаковых букв оставляет слово неизменным.)
комментарий/решение
комментарий/решение