Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2012 год. Великобритания

Пусть $ABC$ — треугольник с центром описанной окружности в точке $O$. Точки $D,$ $E$ и $F$ лежат внутри сторон $BC,$ $CA$ и $AB$ соответственно, так, что $DE$ перпендикулярна к $CO$ и $DF$ перпендикулярна к $BO$. (Таким образом, точка $D$ лежит на прямой $BC$ между точками $B$ и $C$ и т.д.) Пусть $K$ — центр описанной окружности треугольника $AFE$. Докажите, что прямые $DK$ и $BC$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

$\angle FDE=180-\angle BOC=180-2\angle FAE=180-\angle FKE\Longrightarrow K,F,D,E$ лежат на одной окружности $\Longrightarrow 90-\angle BDF=\angle OBC=\angle KEF=\angle KDF\Longleftrightarrow 90=\angle BDF+\angle KDF=\angle KDB\blacksquare$