Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO) 2012. Великобритания

$O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. $D,$ $E$ және $F$ нүктелері тиісінше $BC,$ $CA$ және $AB$ қабырғаларының ішінде келесідей орналасқан: $DE \perp CO$, $DF \perp BO$ ($D$ нүктесі $B$ мен $C$ нүктелерінің арасында $BC$ түзуінде жатыр, және т.с.с.) $K$ нүктесі — $AFE$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінің центрі. $DK \perp BC$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$\angle FDE=180-\angle BOC=180-2\angle FAE=180-\angle FKE\Longrightarrow K,F,D,E$ лежат на одной окружности $\Longrightarrow 90-\angle BDF=\angle OBC=\angle KEF=\angle KDF\Longleftrightarrow 90=\angle BDF+\angle KDF=\angle KDB\blacksquare$