Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, I тур регионального этапа

Есеп №1. Барлық

$\frac{a+b}{a-b}$ ,

$\frac{b+c}{b-c}$ ,

$\frac{c+a}{c-a}$ сандары бүтін болатындай бүтін емес оң

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандарын табыңыз. ( В. Шурыгин )
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Үңгірге 10 түрлі тайпаның әрқайсысынан 10 гномнан келді, яғни барлығы 100 гном. Әр гном әрқашан шындықты айтатын сері, немесе үнемі өтірік айтатын өтірікші. Жиналғандардың әрқайсысы, оның пікірінше, кездесуге тек өтірікшілері келген тайпаны атады. 10 тайпаның әрқайсысын дәл 10 гном атағаны белгілі. Үңгірде өтірікшілер саны серілер санынан кем емес екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ нақты сандары үшін

$x > y^2+z^2$ ,

$y > z^2+x^2$ ,

$z > x^2+y^2$ теңсіздіктері орындалады.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ сандарының әрқайсысы

$\frac{1}{2}$ -ден кіші екенін дәлелдеңіз. ( Н. Агаханов, А. Храбров )
комментарий/решение(5)

Есеп №4.

$2\times 200$ тақтаның әр ұяшығында 1 рублдік тиын бар. Даша мен Соня келесі ойын ойнауда. Олар кезекпен жүреді, ойынды Даша бастайды. Бір жүрісте кез келген тиынды таңдап, оны әр ойыншыға келесідей жылжытуға болады: Даша тиынды диагональ бойынша көрші ұяшыққа, ал Соня тиынды қабырға бойынша көрші ұяшыққа жылжыта алады. Егер екі тиын бір ұяшыққа түссе, онда сол мезетте Соня сол тиынның біреуін өзіне алып алады. Оған қоса Соня ойынды кез келген уақытта тоқтатып, ол алған барлық ақшаны өзімен алып кете алады. Дашаның ойынына қарамастан, Соня ең көп дегенде неше рубль жеңіп ала алады? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$ бұрышының биссектрисасында

$D$ нүктесі белгіленген.

$AB = DE$ және

$BC = DF$ болатындай

$AB$ кесіндісінде

$E$ , ал

$BC$ кесіндісінде

$F$ нүктесі белгіленген.

$AD$ ,

$CD$ және

$EF$ кесінділерінен үшбұрыш құрастыруға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)