Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ таковы, что для каждого $k$ $a_k$ шаров, пронумерованных числами от 1 до $a_k$, можно разложить в $k$ коробок таким образом, чтобы в каждой коробке был шар с номером, равным количеству шаров в этой коробке (включая сам этот шар). Докажите, что $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<2$.
комментарий/решение

---

Задача №2. Внутри треугольника выбрана точка, расстояния от которой до прямых, содержащих стороны треугольника, равны 1, 2 и 3.
   а) Может ли радиус вписанной в треугольник окружности быть равен 1,5?
   б) Может ли радиус вписанной в треугольник окружности быть равен 1,51?
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. а) Решите уравнение $20^x \cdot 25^y \cdot 2025^z = 1$ в рациональных числах $x$, $y$, $z$.
   б) Разрешимо ли уравнение $20^x + 25^y = 2025^z$ в рациональных числах $x$, $y$, $z$?
комментарий/решение(1)

---