Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 11 класс

Натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ таковы, что для каждого $k$ $a_k$ шаров, пронумерованных числами от 1 до $a_k$, можно разложить в $k$ коробок таким образом, чтобы в каждой коробке был шар с номером, равным количеству шаров в этой коробке (включая сам этот шар). Докажите, что $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<2$.

Комментарий/решение

Дәлелдеуі. 1) $$1 \leq R \leq 3$$ үшін

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} < 2$$

$$1 \leq R \leq 4$$ үшін

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12} > 2$$

Олай болса, берілген теңсіздікке қатысты кез – келген $$n > 1$$ үшін

$$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n+1} < 2$$

екендігін дәлелдейік.

2) Сол жағы $$2n + 1$$ қосылғыштан тұратын бұл теңсіздіктің соңғы екі қосылғышының қосындысын күшейту әдісі арқылы алынған келесі қосындымен салыстырып, оның сол жағын бағалайық:

$$\frac{1}{3n} + \frac{1}{3n+1} < \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} = \frac{1}{n}$$

3) Теңсіздіктің сол жағында қалған $$2n - 1$$ қосылғыштың әрқайсысы $$\frac{1}{n}$$ -ден кіші болады, демек

$$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n+1} < 2(2n - 1)\frac{1}{n} + \frac{1}{n} = 2$$