Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Натуральные числа

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_n$ таковы, что для каждого

$k$

$a_k$ шаров, пронумерованных числами от 1 до

$a_k$ , можно разложить в

$k$ коробок таким образом, чтобы в каждой коробке был шар с номером, равным количеству шаров в этой коробке (включая сам этот шар). Докажите, что

$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<2$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Внутри треугольника выбрана точка, расстояния от которой до прямых, содержащих стороны треугольника, равны 1, 2 и 3.
а) Может ли радиус вписанной в треугольник окружности быть равен 1,5?
б) Может ли радиус вписанной в треугольник окружности быть равен 1,51?
комментарий/решение(1)

Задача №3. а) Решите уравнение

$20^x \cdot 25^y \cdot 2025^z = 1$ в рациональных числах

$x$ ,

$y$ ,

$z$ .
б) Разрешимо ли уравнение

$20^x + 25^y = 2025^z$ в рациональных числах

$x$ ,

$y$ ,

$z$ ?
комментарий/решение(2)